Derivada de expoente fracionário negativo.

por **Sobreira** » Sex Out 26, 2012 11:25

Olá amigos,
Tenho que derivar esta função $f(x)={x}^{\frac{-2}{5}}$ .
Derivando de forma direta, não encontro problema algum...

$f'(x)=\frac{-2}{ 5}* {x}^{\frac{-2}{5}-1}$

E resolvendo tudo no final encontro o resultado de:

$f'(x)=\frac{-2}{ 5}* {x}^{\frac{-7}{5}}$

Agora eu não consigo entender ( e vejo que estou falhando com conceitos de matemática básica) se eu partir para resolver, antes de derivar, "ajeitando" a expressão.
Por exemplo:
$f(x)=\frac{1}{{x}^{\frac{2}{5}}}$

Gostaria que me descrevessem o desenrolar desta solução até a resposta final, pois tentei vários métodos e não chego ao final.

por **MarceloFantini** » Sex Out 26, 2012 11:34

Você tentou aplicar a regra do quociente? Segue que

$f'(x) = \frac{x^{\frac{2}{5}} \cdot (1)' - 1 \cdot (x^{\frac{2}{5}})'}{ \left( x^{\frac{2}{5}} \right)^2} = \frac{ - \frac{2}{5} x^{\frac{-3}{5}} }{ x^{\frac{4}{5}} }$

$= \frac{-2}{5} x^{ \frac{-3}{5} - \frac{4}{5} } = \frac{-2}{5} x^{\frac{-7}{5}}$ ,

que era o resultado desejado.