Ajuda

por **sueliasuki** » Qui Ago 23, 2012 18:20

Considere uma função f(x) tal que f(0) = 5 e df/dx =-36 /(x+3)3 - 2. Encontre a função f(x) e calcule o valor de f(3).

por **LuizAquino** » Qui Ago 23, 2012 18:54

sueliasuki escreveu:Considere uma função f(x) tal que f(0) = 5 e df/dx =-36 /(x+3)3 - 2. Encontre a função f(x) e calcule o valor de f(3).

Por favor, procure usar o LaTeX para inserir as notações de forma adequada.

Qual é a expressão original para df/dx? Por acaso seria $\frac{df}{dx} = -\frac{36}{(x+3)^3} - 2$ ? Ou seria outra coisa?

por **sueliasuki** » Qui Ago 23, 2012 19:44

Correto, é desse jeito. Não consegui a configuração certa.

Aguardo sua ajuda.

por **LuizAquino** » Sex Ago 24, 2012 08:06

sueliasuki escreveu:Correto, é desse jeito. Não consegui a configuração certa.

Primeiro note que $\frac{df}{dx} = -\frac{36}{(x+3)^3} - 2$ é o mesmo que $f^\prime(x) = -\frac{36}{(x+3)^3} - 2$ .

Calculando a integral de ambos os membros da equação, temos que:

$\int f^\prime(x)\,dx = \int -\frac{36}{(x+3)^3} - 2 \,dx$

A integral no primeiro membro é simples. Basta aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\int f^\prime(x)\,dx = f(x) + c_1$

Já a integral no segundo membro, podemos resolver usando a substituição u = x + 3 (tente fazer). Vamos obter:

$\int -\frac{36}{(x+3)^3} - 2 \,dx = \frac{18}{(x+3)^2} - 2(x+3) + c_2$

Desse modo, temos que:

$f(x) + c_1 = \frac{18}{(x+3)^2} - 2(x+3) + c_2$

$f(x) = \frac{18}{(x+3)^2} - 2(x+3) + c_2 - c_1$

Como c_2

e

são constantes, temos que a subtração c_2 - c_1

também é uma constante. Vamos chamar o resultado dessa subtração de c. Desse modo, ficamos com:

$f(x) = \frac{18}{(x+3)^2} - 2(x+3) + c$

Agora basta usar o fato de que f(0) = 5 para determinar o valor da constante c:

$f(0) = \frac{18}{(0+3)^2} - 2(0+3) + c$

5 = 2 - 6 + c

Sendo assim, temos que:

$f(x) = \frac{18}{(x+3)^2} - 2(x+3) + 9$

Agora calcule f(3) para concluir o exercício.

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