[LIMITES/L’ Hôpital] CALCULO I

por **FelipeTURBO** » Qui Jun 14, 2012 14:15

$\lim_{x\rightarrow0{+}^{}}=\left(1+x \right)^\frac{1}{x}$

A resposta desse exercício seria 'e'. Como consigo chegar nessa resposta, já fiz de uma maneira porem a professora disse estar errado.

por **joaofonseca** » Qui Jun 14, 2012 14:46

Seja, $\space n=\frac{1}{x}$ . Então $\space x=\frac{1}{n}$

Assim, quando $\space x \to 0^+ \space$ , $\space n \to +\infty$ .

Podemos escrever:

$\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n=e$

Genericamente:

$\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{k}{n} \right)^n=e^k$

Podemos encarar isto como algo que sabemos de antemão que é verdadeiro, sem necessidade de provar.

por **LuizAquino** » Qui Jun 14, 2012 15:03

FelipeTURBO escreveu: $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}=\left(1+x \right)^\frac{1}{x}$

A resposta desse exercício seria 'e'. Como consigo chegar nessa resposta, já fiz de uma maneira porem a professora disse estar errado.

Eu presumo que o objetivo do exercício seja aplicar a Regra de L'Hospital para calcular esse limite.

Vamos chamar o resultado desse limite de L. Temos então que:

$L = \lim_{x\to 0^+} \left(1+x\right)^\frac{1}{x}$

Como $\left(1+x\right)^\frac{1}{x} > 0$ quando $x\to 0^+$ , podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os membros dessa igualdade. Temos então que:

$\ln L = \ln \left[\lim_{x\to 0^+} \left(1+x\right)^\frac{1}{x}\right]$

Como a função ln é contínua em todo o seu domínio, ela pode "entrar" no limite. Desse modo, obtemos que:

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \ln \left[\left(1+x\right)^\frac{1}{x}\right]$

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}\ln (1+x)$

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln (1+x)}{x}$

Agora note que esse limite é uma indeterminação do tipo 0/0. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L'Hospital para resolvê-lo.

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \frac{[\ln (1+x)]^\prime}{(x)^\prime}$

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1}$

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{1 + x}$

$\ln L = \frac{1}{1 + 0}$

$\ln L = 1$

L = e^1

Sendo assim, temos que:

$\lim_{x\to 0^+} \left(1+x\right)^\frac{1}{x} = e$

Observação

Uma curiosidade:

Regra de L’Hôpital, L’Hopital ou L’Hospital?
http://www.tecnosapiens.com.br/2010/03/ ... lhospital/

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