[derivada parcial] duvida no enunciado da questao

por **ricardosanto** » Sáb Jun 02, 2012 00:32

Qual a ordem de derivação que calcularah Fxy (ou Fyx) mais rapidamente?
$a) xseny+{e}^{y}$
$b) y+{x}^{2}y+4{y}^{3}-ln({y}^{3}+1)$

O que quer dizer "calcular mais rapidamente"?
Não consegui interpretar isto.
E o que ele quis dizer com Fxy (ou Fyx) qual a diferença?
Se poder, explica como devo prceder.
Desde já obrigado

por **Russman** » Sáb Jun 02, 2012 02:54

No estudo de Derivadas Parciais se desenvolve o conceito de derivadas cruzadas, isto é, derivar parcialmente uma mesma função em relação a 2 variáveis, por exemplo, x e y.

$F_{xy}(x,y)\equiv \frac{\partial }{\partial y}\left \left (\frac{\partial }{\partial x} \right F(x,y) \right )=\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}F(x,y)$ .

Assim, derivamos a função com relação a x e depois em seguida a y. A pergunta é: E se tivessemos feito ao contrário, isto é, se tivéssemos derivado primeiramente com relação a y e depois em seguida a x, teríamos a mesma função derivada? A respos é sim! Ou seja, derivadas cruzadas são iguais independentemente da ordem de derivação.

por **MarceloFantini** » Sáb Jun 02, 2012 12:33

É independente se as funções forem de classe C^2

.

por **ricardosanto** » Sáb Jun 02, 2012 18:43

Ainda nao entendi muito bem.
algum de vcs pode dar um exemplo?
obrigado :y:

se poderem me add no facebook
http://www.facebook.com/ricardo.tavaresmedeiros

por **MarceloFantini** » Sáb Jun 02, 2012 18:56

Ricardo, o que dissemos é que $F_{xy} = F_{yx}$ quando a função for de classe C^2

, ou seja, tem derivadas parciais contínuas até segunda ordem. Sabendo que são iguais, pode existir uma ordem que facilite o seu trabalho, e é isto que o exercício pede que você encontre. Note que na primeira temos

$F(x,y) = x \textrm{ sen }y + e^y$ .

Se derivarmos em relação a x, o termo e^y

se anula pois quando tratamos de derivadas parciais consideramos as outras constantes. Logo $F_x = \textrm{sen }y$ . Agora, derivando em relação a y, segue $F_{yx} = F_{xy} = \cos y$ .

Tente manter o mesmo raciocínio para a outra.