[Limites] Definição

por **felipe10** » Qui Mai 03, 2012 18:46

Como calcular por definição o seguinte limite:

lim (3x² -7x + 2) = -2, quando x tende a 1; EPSILON = 0,02

por **Russman** » Qui Mai 03, 2012 20:41

Só substituir x=1 na função !

f(x) = 3x² - 7x + 2
f(1) = 3-7+2 = -2

por **felipe10** » Sex Mai 04, 2012 11:57

Russman escreveu:Só substituir x=1 na função !

f(x) = 3x² - 7x + 2
f(1) = 3-7+2 = -2

Isso eu sei... é que o professor pediu por definição... Meu problema é saber qual intervalo irei usar pra resolver este problema

por **LuizAquino** » Sex Mai 04, 2012 18:41

felipe10 escreveu:Como calcular por definição o seguinte limite:

lim (3x² -7x + 2) = -2, quando x tende a 1; EPSILON = 0,02

, temos que $3x^2 - 7x + 4 = 3(x - 1)\left(x-\frac{4}{3}\right)$ .

$\left|3(x - 1)\left(x-\frac{4}{3}\right)\right| < 0,02$

$|3||x - 1|\left|x-\frac{4}{3}\right| < 0,02$

$|x - 1|\left|x-\frac{4}{3}\right| < \frac{0,02}{3}$

Precisamos agora delimitar o termo $\left|x-\frac{4}{3}\right|$ . Como x se aproxima de 1, é razoável dizer que x está no intervalo $1 - \frac{1}{2} < x < 1 + \frac{1}{2}$ (ou seja, $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ ). Analisando agora o gráfico da função $f(x) = \left|x-\frac{4}{3}\right|$ para x no intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ , temos que $\left|x-\frac{4}{3}\right| < \frac{5}{6}$ . Vide a figura abaixo.

: figura1.png (3.75 KiB) Exibido 3308 vezes

Note que ao dizer que $1 - \frac{1}{2} < x < 1 + \frac{1}{2}$ , estamos dizendo que $- \frac{1}{2} < x - 1 < \frac{1}{2}$ . Ou seja, estamos dizendo que $|x - 1| < \frac{1}{2}$ . Isso significa que estamos escolhendo um certo $\delta_1 = \frac{1}{2}$ .

Entretanto, considerando que $\left|x-\frac{4}{3}\right| < \frac{5}{6}$ , temos que:

$|x - 1|\left|x-\frac{4}{3}\right| < \frac{0,02}{3}$

$\frac{5}{6}|x - 1| < \frac{0,02}{3}$

$|x - 1| < \frac{0,04}{5}$

Isso significa que estamos escolhendo $\delta_2 = \frac{0,04}{5}$ .

Até aqui já escolhemos dois valores para $\delta$ . Mas qual deles devemos usar? Devemos usar aquele que garanta ao mesmo tempo que duas coisas aconteçam:

(i) $\left|x-1\right| < \frac{0,04}{5}$ ;

(ii) $\left|x-\frac{4}{3}\right| < \frac{5}{6}$ .

Para ter essa garantia, basta escolher $\delta$ como sendo o menor dos dois valores. Isto é, escolheremos $\delta = \min\{\delta_1,\,\delta_2\}$ . Como $\delta_2 < \delta_1$ nesse caso, vamos escolher $\delta = \frac{0,04}{5}$ .

Desse modo, temos que:

$0 < |x - 1| < \frac{0,04}{5} \implies \left|\left(3x^2 - 7x + 2\right) - (-2)\right| < 0,02$

Aqui acaba o exercício. Mas vamos verificar que essa escolha de $\delta$ realmente funciona.

Supondo que $0 < |x - 1| < \frac{0,04}{5}$ , podemos afirmar que $0 < |x - 1| < \frac{1}{2}$ . Podemos afirmar isso, pois 0,04/5 = 0,008 e 1/2 = 0,5. Sendo assim, se |x - 1| é um número menor do que 0,008, então ele também será menor do que 0,5. Por outro lado, como já vimos anteriormente, se $0 < |x - 1| < \frac{1}{2}$ , então $\left|x-\frac{4}{3}\right| < \frac{5}{6}$ . Resumindo, temos que:

$0 < |x - 1| < \frac{0,04}{5} \implies |x - 1| < \dfrac{1}{2} \implies \left|x-\dfrac{4}{3}\right| < \dfrac{5}{6}$

Multiplicando termo a termo a primeira e a última inequação, temos que

$|x - 1|\cdot\left|x-\dfrac{4}{3}\right| < \frac{0,04}{5}\cdot \dfrac{5}{6}$

$\left|(x - 1)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)\right| < \dfrac{0,02}{3}$

$3 \left|x^2 - \frac{7}{3}x + \frac{4}{3}\right| < 0,02$

$|3|\left|x^2 - \frac{7}{3}x + \frac{4}{3}\right| < 0,02$

$\left|3x^2 - 7x + 4\right| < 0,02$

$\left|3x^2 - 7x + 2 + 2\right| < 0,02$

$\left|\left(3x^2 - 7x + 2\right) - (-2)\right| < 0,02$

Com isso verificamos que de fato:

$0 < |x - 1| < \frac{0,04}{5} \implies \left|\left(3x^2 - 7x + 2\right) - (-2)\right| < 0,02$

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