[Derivadas] Rotacional

por **carvalhothg** » Seg Mar 26, 2012 08:54

Pessoal este é um exercicio do livro Gudorrize Calculo III, sera que alguem pode me ajudar a resolver, não estou conseguindo provar que isso é irrotacional.
Como deve ficar a função $\varphi$ para eu deriva-la?

Seja $\varphi:\Omega\subset{\Re}^{2}\rightarrow\Re$ , $\Omega$ aberto de classe C². Verefique que o Campo Vetorial $F=\nabla\varphi$ é irrotacional.

por **LuizAquino** » Seg Mar 26, 2012 15:01

carvalhothg escreveu:Seja $\varphi:\Omega\subset{\Re}^{2}\rightarrow\Re$ , $\Omega$ aberto de classe C². Verefique que o Campo Vetorial $F=\nabla\varphi$ é irrotacional.

carvalhothg escreveu:Pessoal este é um exercicio do livro Gudorrize Calculo III, sera que alguem pode me ajudar a resolver, não estou conseguindo provar que isso é irrotacional.
Como deve ficar a função $\varphi$ para eu deriva-la?

Basta aplicar as definições.

Um campo vetorial F é irrotacional quando $\textrm{rot}\, F = \vec{0}$ .

Além disso, por definição se $F(x,\,y) = (F_1(x,\,y),\, F_2(x,\,y))$ , então temos que:

$\textrm{rot}\, F = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & 0 \\ F_1 & F_2 & 0 \end{vmatrix}$

Também por definição temos que $\nabla \varphi = \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x},\, \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}\right)$ .

Desse modo, basta verificar que $\textrm{rot}\, (\nabla \varphi) = \vec{0}$ .

Aplicando a definição de rotacional, temos que:

$\textrm{rot}\, (\nabla \varphi) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & 0 \\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} & \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} & 0 \end{vmatrix}$

Agora basta calcular esse determinante e você obterá a resposta desejada. Detalhe: lembre-se que a função $\varphi$ é de classe C².