Determinar o limite tendendo ao infinito.

por **Arthur_Bulcao** » Sex Mar 23, 2012 17:34

Estou com dúvidas ao calcular o seguinte limite:

$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\;\frac{x}{\sqrt[3]{x^3+10}}$

Se eu aplicar diretamente o valor de x, eu acabo tendo
$\frac{\infty}{\infty}$ , que é um Símbolo de Indeterminação.

Qual seria um recurso indireto ideal para tal limite?

Eu havia pensado em fatorar a raiz, porém não sei como se faz fatoração de raízes com variáveis :-D

.
Se pudessem me explicar como se faz a fatoração, e o limite, eu agradeço.

PS: A resposta do limite é 1.

por **nietzsche** » Sex Mar 23, 2012 18:07

Você pode por o x^3 em evidência.

$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\;\frac{x}{\sqrt[3]{x^3( 1+10/x^3)}}$
=>
$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\;\frac{x}{x\sqrt[3]{ 1+10/x^3)}} = 1$

por **-civil-** » Sex Mar 23, 2012 18:45

Outro jeito de resolver é assim:

$\lim_{x\to\infty} \left\sqrt[3]{\frac{x^3}{(x^3 +10)}}$ = $\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \left\frac{x^3}{(x^3 +10)}}$

Depois é só fatorar que vai dar 1 também.

por **Arthur_Bulcao** » Seg Mar 26, 2012 14:16

nietzsche escreveu:Você pode por o x^3 em evidência.

$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\;\frac{x}{\sqrt[3]{x^3( 1+10/x^3)}}$
=>
$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\;\frac{x}{x\sqrt[3]{ 1+10/x^3)}} = 1$

Realmente... Muito obrigado.

por **Arthur_Bulcao** » Seg Mar 26, 2012 14:18

-civil- escreveu:Outro jeito de resolver é assim:

$\lim_{x\to\infty} \left\sqrt[3]{\frac{x^3}{(x^3 +10)}}$ = $\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \left\frac{x^3}{(x^3 +10)}}$

Depois é só fatorar que vai dar 1 também.

Mas na hora de substituir o x pelo Infinito, ali:
$\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \left\frac{x^3}{(x^3 +10)}}$

Não vai dar outra vez Infinito/Infinito, sendo outro SI?

por **LuizAquino** » Ter Mar 27, 2012 13:05

Arthur_Bulcao escreveu:Mas na hora de substituir o x pelo Infinito, ali:
$\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \left\frac{x^3}{(x^3 +10)}}$

Não vai dar outra vez Infinito/Infinito, sendo outro SI?

Sim, há a indeterminação infinito/infinito. Para contorná-la, basta dividir o numerador e o denominador por x³.

$\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \frac{\left(x^3\right):x^3}{\left(x^3 +10\right):x^3}} = \sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{10}{x^3}}} = \sqrt[3]{\frac{1}{1 + 0}} = 1$

por **Arthur_Bulcao** » Qua Mar 28, 2012 19:08

LuizAquino escreveu:
Arthur_Bulcao escreveu:Mas na hora de substituir o x pelo Infinito, ali:
$\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \left\frac{x^3}{(x^3 +10)}}$

Não vai dar outra vez Infinito/Infinito, sendo outro SI?

Sim, há a indeterminação infinito/infinito. Para contorná-la, basta dividir o numerador e o denominador por x³.

$\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \frac{\left(x^3\right):x^3}{\left(x^3 +10\right):x^3}} = \sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{10}{x^3}}} = \sqrt[3]{\frac{1}{1 + 0}} = 1$

Certo! Dúvida saciada. :-D