Dúvida em continuidade

por **MirroR** » Dom Mar 18, 2012 18:16

Boa tarde. Eu estou cursando o primeiro período do curso de Engenharia, estou utilizando o livro "Um curso de Cálculo, volume 1" pelo Hamilton Luiz Guidorizzi para estudar Cálculo 1.
Nos meus estudos, eu encontrei um problema que não consigo desenvolver

Dado uma função [f(x)=1 + 1/x] precisa-se provar que ela é contínua em p=1.

Eu já tentei várias vezes utilizar da definição elementar de continuidade |f(x)-f(p)|< $\epsilon$ $\Rightarrow$ |x-p|< $\delta$ para provar que a função é contínua em p=1, mas no decorrer eu não consigo associar o $\epsilon$ ao $\delta$ . Inclusive, já estou mais avançado no assunto e por outros métodos eu conseguiria provar que a função é contínua, porém é requerido o uso da definição de continuidade.

Por gentileza, ajudem-me a chegar à um resultado.

por **LuizAquino** » Dom Mar 18, 2012 21:38

MirroR escreveu:Dado uma função [f(x)=1 + 1/x] precisa-se provar que ela é contínua em p=1.

Eu já tentei várias vezes utilizar da definição elementar de continuidade |f(x)-f(p)|< $\epsilon$ $\Rightarrow$ |x-p|< $\delta$ para provar que a função é contínua em p=1, mas no decorrer eu não consigo associar o $\epsilon$ ao $\delta$ . Inclusive, já estou mais avançado no assunto e por outros métodos eu conseguiria provar que a função é contínua, porém é requerido o uso da definição de continuidade.

Se f é contínua em x = p, então lembre-se que você precisa provar que:

Para todo $\varepsilon > 0$ dado, existe $\delta > 0$ tal que:

$|x - p| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(p)| < \varepsilon$

Note que você escreveu ao contrário:

MirroR escreveu: $|f(x)-f(p)|< \epsilon \Rightarrow|x-p|< \delta$

Vejamos agora o desenvolvimento. Note que:

$\left|f(x) - f(1)\right| < \varepsilon$

$\left|\left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - \left(1 + \dfrac{1}{1}\right)\right| < \varepsilon$

$\left|\dfrac{1}{x} - 1\right| < \varepsilon$

$\left|\dfrac{1 - x}{x}\right| < \varepsilon$

$\left|\dfrac{-(-1 + x)}{x}\right| < \varepsilon$

$\left|\dfrac{-1}{x}\right||x - 1| < \varepsilon$

$\dfrac{1}{|x|}|x - 1| < \varepsilon$

Precisamos agora determinar uma constante c tal que $\frac{1}{|x|} < c$ .

Como x está próximo de 1, é razoável dizer que $1- \frac{1}{2} < x < 1 + \frac{1}{2}$ . Ou seja, temos que $|x - 1|< \frac{1}{2}$ . Note que com isso já estamos escolhendo um valor $\delta_1 = \frac{1}{2}$ .

Além disso, também podemos dizer que $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ . Ou seja, temos $\frac{2}{3} < \frac{1}{|x|} < 2$ . Desse modo, temos que:

$\dfrac{1}{|x|}|x - 1| < 2|x - 1|$

Note que se fizermos $|x-1| < \frac{\varepsilon}{2}$ (o que significa que estamos escolhendo um $\delta_2 = \frac{\varepsilon}{2}$ ), temos que:

$\dfrac{1}{|x|}|x - 1| < 2\frac{\varepsilon}{2}$

$\dfrac{1}{|x|}|x - 1| < \varepsilon$

Como temos dois valores para delta ( $\delta_1$ e $\delta_2$ ), devemos tomar o menor deles para garantir que ao mesmo tempo ocorra as duas inequações: $|x-1| < \frac{1}{2}$ e $|x-1| < \frac{\varepsilon}{2}$ .

Isto é, vamos tomar $\delta = \min \left\{\dfrac{1}{2},\, \frac{\varepsilon}{2}\right\}$ .

Agora vamos verificar que essa escolha de $\delta$ funciona.

Se $\delta = \min \left\{\dfrac{1}{2},\, \frac{\varepsilon}{2}\right\}$ , então temos que:

$|x - 1| < \delta \Rightarrow \begin{cases} |x - 1| < \dfrac{1}{2} \\ \\ |x - 1| < \dfrac{\varepsilon}{2}\end{cases}$

Já havíamos determinado que $|x - 1| < \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{2}{3} < \frac{1}{|x|} < 2$ . Sendo assim, podemos dizer que:

$|x - 1| < \delta \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{1}{|x|} < 2 \\ \\ |x - 1| < \dfrac{\varepsilon}{2}\end{cases}$

Multiplicando membro a membro as duas inequações que aparecem depois da implicação, temos que:

$|x - 1| < \delta \Rightarrow \dfrac{1}{|x|}|x - 1| < 2\dfrac{\varepsilon}{2}$

$|x - 1| < \delta \Rightarrow \left|\dfrac{x - 1}{x}\right| < \varepsilon$

$|x - 1| < \delta \Rightarrow \left|\dfrac{-(1 - x)}{x}\right| < \varepsilon$

$|x - 1| < \delta \Rightarrow |-1|\left|\dfrac{1 - x}{x}\right| < \varepsilon$

$|x - 1| < \delta \Rightarrow \left|\dfrac{1}{x} - 1\right| < \varepsilon$

$|x - 1| < \delta \Rightarrow \left|\left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - \left(1 + \frac{1}{1}\right) \right| < \varepsilon$

$|x - 1| < \delta \Rightarrow \left|f(x) - f(1) \right| < \varepsilon$

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