[Equação diferencial] Região no plano com única solução

por **Aliocha Karamazov** » Dom Fev 26, 2012 11:52

Pessoal, o exerício é o seguinte:

Determine uma região no plano xy para o qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto $(x_{0},y_{0})$ na região

(4-y^2)y'=x^2

Eu isolei

e ficou:

$y'=\frac{x^2}{4-y^2}$

Para saber se existe solução única para uma equação diferencial, é preciso verificar dois critérios:

1. Em $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ , f(x,y)

deve ser contínua no intervalo

2. $\frac{\partial f}{\partial y}$ também deve ser contínua

Bem, calulando $\frac{\partial f}{\partial y}$ cheguei à expressão:

$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2x^2y}{(4-y^2)^2}$

A minha dúvida é: como eu faço para encontrar a região do plano xy em que essas funções são contínuas? Eu ainda não aprendi cálculo com mais de uma variável. Na grade do meu curso, a disciplina de equações diferenciais vem antes. Isso me prejudica? Gostaria de uma ajuda. Obrigado.

por **LuizAquino** » Dom Fev 26, 2012 13:39

Aliocha Karamazov escreveu:Determine uma região no plano xy para o qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto (x_{0},y_{0}) na região

Eu isolei y' e ficou:

$y'=\frac{x^2}{4-y^2}$

Para saber se existe solução única para uma equação diferencial, é preciso verificar dois critérios:

1. Em $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ , deve ser contínua no intervalo

2. $\frac{\partial f}{\partial y}$ também deve ser contínua

Bem, calulando $\frac{\partial f}{\partial y}$ cheguei à expressão:

$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2x^2y}{(4-y^2)^2}$

Aliocha Karamazov escreveu:como eu faço para encontrar a região do plano xy em que essas funções são contínuas?

Note que em ambas as funções, a única descontinuidade ocorre em y = 2 ou y = -2. Nesses casos, apareceria uma divisão por zero.

Sendo assim, basta tomar qualquer região do plano xy que não contenha as retas y = 2 e y = -2.

Observação: Note que não seria necessário ter feito Cálculo com várias variáveis para perceber isso.

Aliocha Karamazov escreveu:Eu ainda não aprendi cálculo com mais de uma variável. Na grade do meu curso, a disciplina de equações diferenciais vem antes. Isso me prejudica?

Isso vai depender de como a disciplina de Equações Diferenciais será organizada. Se durante a disciplina for levado em consideração que você ainda não estudou Cálculo com várias variáveis, então os conteúdos serão adaptados para essa realidade. Quando for necessário, os conceitos serão definidos.

Por exemplo, se você só sabe derivar funções de uma variável, então será necessário explicar o que significa a derivada parcial de f(x, y) em relação a y. Isto é, o que significa $\frac{\partial f}{\partial y}$ .