Limites

por **Profeta** » Qui Jan 26, 2012 22:08

Olá peço ajuda na correção. Obrigado

$Sendo f(x)=a^{-x}\log_{a}(-x) calcule \lim_{x\to{-\infty}}f(x), para 0<a.$

REsp: $f^\prime(x)\ = a^{-x}\ln_{a}(-1)\log_{a}(-x) \log_{a}(-x)+\frac{(-1)}{-x}\log_{a}e.a^{-x}$ $\Rightarrow$ $f^\prime(x)\ = -a^{-x}.\ln_{a}\log_{a}(-x) +{\frac{\log_{a}e.a^{-x}}{x}$ $\Rightarrow$ $\lim_{x\to{-\infty}}(-a^{-x})lna\log_{a}(-x)+\lim_{x\to{-\infty}}{\frac{\log_{a}e.a^{-x}}{x}$ $\Rightarrow$ ${\infty}+{\frac{\infty}{-\infty}={\infty}-1={\infty}$

por **ant_dii** » Sex Jan 27, 2012 02:54

Profeta escreveu:REsp: $f^\prime(x)\ = a^{-x}\ln_{a}(-1)\log_{a}(-x) \log_{a}(-x)+\frac{(-1)}{-x}\log_{a}e.a^{-x}$ $\Rightarrow$ $f^\prime(x)\ = -a^{-x}.\ln_{a}\log_{a}(-x) +{\frac{\log_{a}e.a^{-x}}{x}$ $\Rightarrow$ $\lim_{x\to{-\infty}}(-a^{-x})lna\log_{a}(-x)+\lim_{x\to{-\infty}}{\frac{\log_{a}e.a^{-x}}{x}$ $\Rightarrow$ ${\infty}+{\frac{\infty}{-\infty}={\infty}-1={\infty}$

Nem precisava disso tudo.

Veja,

$f(x)=a^{-x} \log_{a}(-x)=\frac{ \log_{a}(-x)}{a^x}=\frac{ \ln(-x)}{a^x \ln a}$

então

$\lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\frac{ \ln(-x)}{a^x \ln a}=\frac{1}{\ln a} \cdot\dfrac{ \lim_{x \to -\infty} \ln(-x)}{\lim_{x \to -\infty}a^x}= \\ \\ \\=\frac{1}{\ln a} \cdot \dfrac{ \ln(-\left(\lim_{x \to -\infty}x\right))}{a^{\lim_{x \to -\infty}x}}=\infty \cdot \ln\left(-\left(\lim_{x \to -\infty}x\right)\right)= \infty$

Mas para entender melhor você precisará estudar sobre Limite de função contínua, que foi a ferramenta que usei aqui...

por **LuizAquino** » Sex Jan 27, 2012 20:44

ant_dii escreveu:Veja,

$f(x)=a^{-x} \log_{a}(-x)=\frac{ \log_{a}(-x)}{a^x}=\frac{ \ln(-x)}{a^x \ln a}$

então

$\lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\frac{ \ln(-x)}{a^x \ln a}=\frac{1}{\ln a} \cdot\dfrac{ \lim_{x \to -\infty} \ln(-x)}{\lim_{x \to -\infty}a^x}$

Há dois casos para analisar.

Caso 1) 0 < a < 1

Nesse caso, temos que $\lim_{x\to -\infty} \frac{ \ln(-x)}{a^x}$ é uma indeterminação do tipo $\infty / \infty$ .

Aplicando a Regra de L'Hospital, temos que:

$\frac{1}{\ln a}\lim_{x\to -\infty} \frac{ [\ln(-x)]^\prime}{[a^x]^\prime} = \frac{1}{\ln a}\lim_{x\to -\infty} \frac{\frac{1}{x}}{a^x\ln a}$

$= \frac{1}{\ln a}\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{xa^x\ln a} = 0$

Caso 2) a > 1

Nesse caso, temos que:

$\frac{1}{\ln a}\lim_{x\to -\infty} \frac{\ln(-x)}{a^x} = \frac{1}{\ln a}\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{a^x} \ln(-x)$

$\frac{1}{\ln a}\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{a^x} \lim_{x\to -\infty}\ln(-x)$

$\frac{1}{\ln a} \cdot (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$

por **ant_dii** » Sex Jan 27, 2012 21:24

Opa...
Valew LuizAquino...

Esqueci deste detalhe na hora de escrever... resolvi para a=2, generalizei, pois achei tranquilo fazer isso, e nem me toquei... Detalhe importante...

Mil desculpas

por **Profeta** » Sáb Jan 28, 2012 10:32

obrigado pela observação da equipeé assim um por todos e todos por um.
Jesus abençoe vocês

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