Dúvida de L'hospital em função trigonométrica composta

por **Thamc** » Sex Dez 02, 2011 19:26

Tenho um exercício de cálculo que sempre chego na mesma resposta, mas acho que errei algo no meio e está errado.

(sei que é produto indeterminado, mas não o tipo)
por L'hospital:
$\lim_{x\rightarrow0} {sen (x)}^{tan (x)} {sen (x)}^{tan (x)} = g (x) ln g(x) = tan x. ln sen (x) \lim_{x\rightarrow0} \frac{ln sen (x)}{\frac{1}{tan (x)}} (ln sen (x))' = \frac{cos(x)}{sen(x)} \frac{1}{tan x} = - {cossec}^{2} x \frac{sen x - {cotg}^{2} x - cos x}{cos x}$
Me perco no meio!

por **LuizAquino** » Sáb Dez 03, 2011 12:17

Thamc escreveu:Tenho um exercício de cálculo que sempre chego na mesma resposta, mas acho que errei algo no meio e está errado.

(sei que é produto indeterminado, mas não o tipo)
por L'hospital:
$\lim_{x\rightarrow0} {sen (x)}^{tan (x)}$
${sen (x)}^{tan (x)} = g (x)$

$\lim_{x\rightarrow0} \frac{ln sen (x)}{\frac{1}{tan (x)}}$
$(ln sen (x))' = \frac{cos(x)}{sen(x)}$
$\frac{1}{tan x} = - {cossec}^{2} x \frac{sen x - {cotg}^{2} x - cos x}{cos x}$
Me perco no meio!

Primeiro, esse limite só faz sentido se for avaliado pela direita:

$\lim_{x\to 0^+} \left(\textrm{sen}\, x\right)^{\textrm{tg}\, x}$

Vamos chamar o resultado desse limite de L:

$L = \lim_{x\to 0^+} \left(\textrm{sen}\, x\right)^{\textrm{tg}\, x}$

Como $\left(\textrm{sen}\, x\right)^{\textrm{tg}\, x} > 0$ quando $x\to 0^+$ , temos que deve ocorrer $L \geq 0$ . Vamos fazer a suposição de que L seja não nulo, isto é, que temos apenas L > 0

. Desse modo, podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os membros da equação acima:

$\ln L = \ln \left[\lim_{x\to 0^+} \left(\textrm{sen}\, x\right)^{\textrm{tg}\, x}\right]$

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \ln \left[\left(\textrm{sen}\, x\right)^{\textrm{tg}\, x}\right]$

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \left(\textrm{tg}\, x\right)\ln \left(\textrm{sen}\, x\right)$

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln \left(\textrm{sen}\, x\right)}{\frac{1}{\textrm{tg}\, x}}$

Aplicando a Regra de L'Hospital, temos que:

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \frac{\left[\ln \left(\textrm{sen}\, x\right)\right]^\prime}{\left(\frac{1}{\textrm{tg}\, x}\right)^\prime}$

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{\cos x}{\textrm{sen}\, x}}{-\frac{\sec^2 x}{\textrm{tg}^2\, x}}$

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{\cos x}{\textrm{sen}\, x}}{-\frac{1}{\textrm{sen}^2\, x}}$

$\ln L = \lim_{x\to 0^+} -\cos x\,\textrm{sen}\, x$

$\ln L = 0$

L = e^0 = 1