[DERIVADA] Reta tangente e Reta perpendicular

por **antonelli2006** » Ter Nov 22, 2011 11:21

Olá amigos,

Estou com a seguinte questão sem resposta:

Em que pontos a reta tangente à curva y^2=2x^3

é perpendicular à reta 4x-3y+1=0

?

Fiz a derivada de y^2=2x^3

, igualando $y=\sqrt[]{2x^3}$ , e deu $\frac{3x^2}{\sqrt[]{2x^3}}$ .
Já a derivada da segunda equação deu $\frac{4}{3}$ .

Multiplicando uma pela outra e igualando à

:

$\frac{3x^2}{\sqrt[]{2x^3}}.\frac{4}{3}=-1$
$\frac{4x^2}{\sqrt[]{2x^3}}=-1$

Consegui o seguinte resultado:

$x=-\frac{1}{8}$

Porém não consigo achar o valor de y que satisfaça as duas equações.

Alguem ajuda?

por **LuizAquino** » Ter Nov 22, 2011 14:28

antonelli2006 escreveu:Em que pontos a reta tangente à curva é perpendicular à reta ?

Derivando implicitamente a curva dada, temos que:

$\left(y^2\right)^\prime=\left(2x^3\right)^\prime$

$2yy^\prime=6x^2$

$y^\prime=\frac{3x^2}{y}$

Sabemos então que $\frac{3x^2}{y}$ é o coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto (x, y).

Já que 4/3 é o coeficiente angular da reta 4x-3y+1=0

, para que ela seja perpendicular a reta tangente a curva, deve ocorrer:

$\frac{3x^2}{y}\cdot \frac{4}{3} = -1$

y = -4x^2

Falta agora determinar os pontos (x, y) sobre a curva y^2=2x^3

tais que

. Isto é, basta resolver o sistema:

$\begin{cases} y^2 = 2x^3 \\ y = -4x^2 \end{cases}$

Resolvendo esse sistema obtemos $x = \frac{1}{8}$ e $y = -\frac{1}{16}$ (aqui desconsideramos a solução x=0 e y=0).

Portanto, apenas no ponto $\left(\frac{1}{8},\, -\frac{1}{16}\right)$ a reta tangente a curva y^2=2x^3

é perpendicular a reta 4x-3y+1=0

.

Observação

antonelli2006 escreveu:Fiz a derivada de , igualando $y=\sqrt{2x^3}$ , e deu $\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}$ .

Aqui você esqueceu que:

$y^2=2x^3 \Rightarrow y=\pm \sqrt{2x^3}$

Portanto, temos que:

$y^\prime= \begin{cases}\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}},\,\textrm{se } y > 0 \\ -\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}},\,\textrm{se } y < 0 \end{cases}$

Note que não há derivada em y=0. Fica mais fácil perceber isso fazendo uma ilustração do gráfico dessa curva.

Para continuar a resolução a partir daqui, você teria que analisar dois casos:

(i) $\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}\cdot \frac{4}{3} = -1$ ;

(ii) $\left(-\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}\right)\cdot \frac{4}{3} = -1$ ;

Note que (i) não tem solução real, enquanto que (ii) tem solução x = 1/8 (e portanto y = -1/16).

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