Integral com módulo.

por **adecris** » Sex Nov 11, 2011 13:01

Boa tarde.
Estou com uma dúvida em uma integral que envolve o produto de um módulo por uma função trigonométrica.
A integral é a seguinte: $\int\limits_{0}^{2\pi}~\left|y/\pi -1 \right|cosy dy$
Se alguém puder dar alguma dica, agradeço. Tentei dividir em uma soma de integrais, mas esse cosseno está me atrapalhando. x]

Obrigada.

por **LuizAquino** » Sex Nov 11, 2011 17:12

adecris escreveu:A integral é a seguinte: $\int_{0}^{2\pi} \left|\frac{y}{\pi} -1 \right|\cos y \, dy$
Se alguém puder dar alguma dica, agradeço. Tentei dividir em uma soma de integrais, mas esse cosseno está me atrapalhando. x]

O caminho é dividir a integral em duas.

Note que para $y\in (0,\,\pi)$ , temos que $\frac{y}{\pi} - 1 < 0$ .

Por outro lado, para $y\in (\pi,\,2\pi)$ , temos que $\frac{y}{\pi} - 1 > 0$ .

Aplicando a definição de módulo, segue que:

$\left|\frac{y}{\pi} -1 \right| = \begin{cases} -\left(\frac{y}{\pi} -1\right), \textrm{se } y\in (0,\,\pi) \\ \frac{y}{\pi} -1, \textrm{se } y\in (\pi,\,2\pi) \end{cases}$

Portanto, a integral será dividida da seguinte forma:

$\int_{0}^{2\pi} \left|\frac{y}{\pi} -1 \right|\cos y \, dy = \int_{0}^{\pi}-\left(\frac{y}{\pi} -1\right)\cos y \, dy + \int_{\pi}^{2\pi}\left(\frac{y}{\pi} -1\right)\cos y \, dy$

Para resolver cada uma dessas integrais, utilize integração por partes fazendo $u = \frac{y}{\pi} -1$ e $dv = \cos y \, dy$ .

Agora tente terminar o exercício.

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