• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Cálculo II] Regra da cadeia

[Cálculo II] Regra da cadeia

Mensagempor carlosmarinio » Qui Nov 03, 2011 15:15

Boa tarde,

alguém poderia me ajudar a resolver tal exercício?

Determine uma família de funções que verifique a equação : x. df/dx + y df/dy = o

Exercício retirado do livro Guidorizzi de cálculo II - pág 226 // regra dacadeia

Obrigado.
carlosmarinio
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 1
Registrado em: Qui Nov 03, 2011 15:09
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: tecnologia
Andamento: cursando

Re: [Cálculo II] Regra da cadeia

Mensagempor joaofonseca » Qui Nov 03, 2011 20:14

A notação que utilizas-te não foi muito explicita.
Vou deduzir que te estar a limitar à diferenciação explicita e que a notação que utilizas-te corresponde á seguinte:

\frac{d_{y}}{d_{x}}=\frac{d_{y}}{d_{u}} \cdot \frac{d_{u}}{d_{x}}

Ou seja:

(f \circ u)'(x)=f'(u(x)).u'(x)

Para que a expressão anterior seja zero é necessário que f'(u(x))=0 \vee u'(x)=0.
Para u'(x)=0 basta que u(x) seja uma função contante, já que a derivada de uma constante é zero.Mas se u(x) for uma constante já não estamos perante uma função composta. Na pratica estariamos a calcular a derivada de f(x) num ponto da função f (declive da reta tangente).
joaofonseca
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 196
Registrado em: Sáb Abr 30, 2011 12:25
Localização: Lisboa
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando

Re: [Cálculo II] Regra da cadeia

Mensagempor LuizAquino » Dom Nov 06, 2011 20:44

carlosmarinio escreveu:Determine uma família de funções que verifique a equação : x. df/dx + y df/dy = 0

Exercício retirado do livro Guidorizzi de cálculo II - pág 226 // regra dacadeia


Na terceira edição desse livro, esse exercício está na página 227. Além disso, os exercícios anteriores a ele que tratam sobre funções homogêneas podem lhe dar uma pista de como resolvê-lo.

Para resolver o exercício, basta tomar qualquer função f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} tal que f seja homogênea de grau 0.

Por exemplo, note que qualquer função do tipo f(x,\,y) = \frac{x^n}{y^n} verifica a equação dada.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 2 visitantes

 



Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}