[Derivada] Derivadas parciais

por **-civil-** » Qui Set 29, 2011 15:28

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e explicite o domínio de cada função (descreva a propriedade algébrica que o define) e desenhe-o.

k = $\frac{xcosz}{sen(x^2 + zy)}$

Eu não entendi o que o exercício quis dizer com "descreva a propriedade algébrica que o define". Seria dizer que, por exemplo, para uma a função f(x,y) = $\frac{x}{x+y}$ , x + y $\neq$ 0 ?

Voltando à função, para esboçar o domínio, eu preciso que $sen(x^2 + zy) \neq$ 0 e deveria desenhar no gráfico sen(x^2 + zy) =

0 para mostrar que aquilo não pertence ao domínio. Mas não faço ideia de como desenhar.

por **LuizAquino** » Sex Set 30, 2011 17:57

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e explicite o domínio de cada função (descreva a propriedade algébrica que o define) e desenhe-o.

$k = \frac{xcosz}{sen(x^2 + zy)}$

Eu não entendi o que o exercício quis dizer com "descreva a propriedade algébrica que o define". Seria dizer que, por exemplo, para uma a função f(x,y) = $\frac{x}{x+y}$ , x + y $\neq$ 0.

É por aí. Para a função no seu exemplo, a propriedade algébrica que define o seu domínio seria algo do tipo: x e y números reais tais que $x + y \neq 0$ .

Ainda nesse exemplo, o esboço desse domínio seria todo o plano cartesiano retirando-se a reta y = -x

.

-civil- escreveu:Voltando à função, para esboçar o domínio, eu preciso que $sen(x^2 + zy) \neq$ 0 e deveria desenhar no gráfico 0 para mostrar que aquilo não pertence ao domínio. Mas não faço ideia de como desenhar.

Bem, primeiro note que o exercício pede que seja explicitado o domínio das funções derivadas parciais de primeira ordem. Acontece que nesse caso esse domínio será o mesmo para todas essas funções.

No caso do exercício, temos que a função k depende das variáveis x, y e z. Você precisa então calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a cada uma delas.

Por exemplo, calculando a derivada parcial de k em relação a x, temos que:

$k_x = \frac{\cos z \,\textrm{sen}\,\left(x^2 + zy\right) -2x^2\cos z \cos \left(x^2 + zy\right)}{\left[\textrm{sen}\,\left(x^2 + zy\right)\right]^2}$

A propriedade algébrica que define o domínio de k_x

seria algo como: x, y e z números reais tais que $\textrm{sen}\,\left(x^2 + zy\right) \neq 0$ .

Dos conhecimentos de trigonometria, sabemos que a função seno é igual a zero nos ângulos $m\pi$ , com $m\in\mathbb{Z}$ .

Desse modo, podemos reescrever a propriedade algébrica anterior como sendo algo do tipo: x, y e z números reais tais que $x^2 + zy \neq m\pi$ , com $m\in\mathbb{Z}$ .

Um esboço desse domínio seria todo o espaço $\mathbb{R}^{3}$ retirando-se as superfícies $z = \frac{-x^2 + m\pi}{y}$ (quando $y \neq 0$ ) e retirando-se as retas $x = \pm \sqrt{m\pi}$ que estão sobre o plano xOz (quando y = 0

e $m \geq 0$ ).

Para fazer o esboço das superfícies, note que as curvas de nível de cada um deles são parábolas.

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