[Limetes trigonometrico] ajuda urgente

por **Rafael eDomus** » Qui Set 29, 2011 15:17

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen4x}{sen3x}$

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{tg3x}{tg5x}$

não consegui sair do lugar

por **LuizAquino** » Sex Set 30, 2011 17:05

Rafael eDomus escreveu: $\lim_{x\to 0}\frac{\textrm{sen}\,4x}{\textrm{sen}\,3x}$

A ideia básica é fazer a aparecer o limite trigonométrico fundamental. Para isso, dividindo tanto o numerador quanto o denominador por 12x, note que podemos reescrever esse limite como:

$\lim_{x\to 0}\frac{\textrm{sen}\,4x}{\textrm{sen}\,3x} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{\textrm{sen}\,4x}{12x}}{\frac{\textrm{sen}\,3x}{12x}}$

$= \frac{4}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\textrm{sen}\,4x}{4x}}{\frac{\textrm{sen}\,3x}{3x}}$

$= \frac{4}{3}\frac{\lim_{x\to 0} \frac{\textrm{sen}\,4x}{4x}}{\lim_{x\to 0} \frac{\textrm{sen}\,3x}{3x}}$

Agora use as substituições u = 4x e v = 3x. Em ambas as substituições, se $x\to 0$ , então $u\to 0$ e $v\to 0$ . Com isso, podemos escrever que:

$= \frac{4}{3}\frac{\lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\,u}{u}}{\lim_{v\to 0} \frac{\textrm{sen}\,v}{v}}$

$= \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{1}$

$= \frac{4}{3}$

Rafael eDomus escreveu: $\lim_{x\to 0}\frac{\textrm{tg}\, 3x}{\textrm{tg}\, 5x}$

Aplicando a definição de tangente, esse limite é o mesmo que:

$\lim_{x\to 0}\frac{\textrm{tg}\, 3x}{\textrm{tg}\, 5x} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{\textrm{sen}\, 3x}{\cos 3x}}{\frac{\textrm{sen}\, 5x}{\cos 5x}}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\textrm{sen}\, 3x}{\textrm{sen}\, 5x} \cdot \frac{\cos 5x}{\cos 3x}$

$= \left(\lim_{x\to 0} \frac{\textrm{sen}\, 3x}{\textrm{sen}\, 5x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to 0} \frac{\cos 5x}{\cos 3x}\right)$

Para resolver o primeiro limite, basta aplicar uma ideia semelhante a que usamos no cálculo do limite anterior. Quanto ao segundo limite, é fácil resolver já que não temos indeterminação.

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Re: [Limetes trigonometrico] ajuda urgente

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