Integral indefinida (por substituição)

por **Anne2011** » Sex Set 16, 2011 23:17

E essa agora?

$\int_{}^{}\sqrt[]{x}{sen}^{2}({x}^{\frac{3}{2}}-1)dx, u={x}^{\frac{3}{2}}-1$

Fiz a primeira vez sem dividir a integral em duas, e depois separei mas não deu certo...

por **MarceloFantini** » Sex Set 16, 2011 23:28

Qual foi o seu desenvolvimento? A substituição está certa.

por **Anne2011** » Sáb Set 17, 2011 14:44

$\int_{}^{}\sqrt[]{x}{sen}^{2}({x}^{\frac{3}{2}}-1)dx$

$u={x}^{\frac{3}{2}}-1$

$du=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}dx$

$\frac{du}{\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}}=dx$

Acho que estou errando na substtuição do dx X du... Mas prosseguindo, primeiro separei em duas integrais:

$\int_{}^{}\sqrt[]{x}dx \int_{}^{}{sen}^{2}({x}^{\frac{3}{2}}-1)dx$

Substituindo:

$\int_{}^{}\sqrt[]{x}\frac{du}{\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}} \int_{}^{}{sen}^{2}u\frac{du}{\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}}$

Quando cheguei aí imaginei que não poderia integrar raíz de x em função de du, mas du=dx, então continuei:

$\int_{}^{}\sqrt[]{x}\frac{du}{\frac{3\sqrt[]{x}}{2}} \int_{}^{}{sen}^{2}u\frac{du}{\frac{3\sqrt[]{x}}{2}}$

Daí pra lá desandou td.

Cheguei a vários resultados absurdos.

por **MarceloFantini** » Sáb Set 17, 2011 17:28

Você acertou a substituição e a derivada, mas você NÃO DEVE isolar o $\textrm{d}x$ ! E não existe essa separação de integral, isto é um erro gravíssimo! Aqui está como você deve fazer:

$u = x^{\frac{3}{2}} -1 \implies \textrm{d}u = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} \textrm{d}x \implies \frac{2}{3}\textrm{d}u = \sqrt{x} \textrm{d}x$

Fazendo a substituição na integral:

$\int \sqrt{x} \textrm{sen}^2(x^{\frac{3}{2}} -1) \, \textrm{d}x = \int \textrm{sen} 2(x^{\frac{3}{2}} -1) \underbrace{\sqrt{x} \, \textrm{d}x}_{\frac{2}{3} \textrm{d}u} =$

$= \int \textrm{sen }^2u \, \textrm{d}u$

Agora use que $\textrm{sen}^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2}$ e a integral sairá facilmente.

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