• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Limite- Função modular

Limite- Função modular

Mensagempor killerkill » Sáb Ago 20, 2011 13:18

Sou eu mais uma vez!
O exercício dessa vez é um limite de uma função modular.
\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^5-1}{\left|x-1 \right|}

se x>1

f(x)= \frac{x^5-1}{-x+1}

se x<1

f(x)= \frac{x^5-1}{-x+1}

Então analisando os limites laterais:

\lim_{x\rightarrow1^+} \frac{(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)}{x-1}\Rightarrow 

\lim_{x\rightarrow1^+} x^4+x^3+x^2+x+1 = 1^4+1^3+1^2+1+1 = 5

e

\lim_{x\rightarrow1^-}  \frac{x^5-1}{-x+1}

não sei oque faço agora com esse limite . Não sei como eliminar a indeterminação dele.
killerkill
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 25
Registrado em: Ter Ago 09, 2011 22:39
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Eg. Elétrica
Andamento: cursando

Re: Limite- Função modular

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Ago 20, 2011 14:49

Note que x^5 -1 = (x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1), logo: \lim_{x \to 1} \frac{x^5 -1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)}{|x-1|}. Tente analisar o sinal agora.

Cuidado: (x^5 +x^4 +x^3 +x^2 +x +1)(x-1) \neq (x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1).
Futuro MATEMÁTICO
e^{\pi \cdot i} +1 = 0
MarceloFantini
Colaborador Moderador
Colaborador Moderador
 
Mensagens: 3126
Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Andamento: formado

Re: Limite- Função modular

Mensagempor killerkill » Sáb Ago 20, 2011 17:05

Marcelo, confesso que estou meio perdido quanto ao conceito de módulo nesse exercício... a unica coisa que sei é o seguinte..
\left|x-1 \right|\neq 0
até onde eu sabia esse módulo poderia ser duas coisas.. ou x-1 ou -x+1... realmente estou perdendo algum detalhe do fundamento, sou meio fraco nisso... me ajuda por favor? oque eu devo fazer com o módulo? ele nao assume x-1 em uma possibilidade e -x+1 em outra nao? poderia me explicar por favor?
killerkill
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 25
Registrado em: Ter Ago 09, 2011 22:39
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Eg. Elétrica
Andamento: cursando

Re: Limite- Função modular

Mensagempor LuizAquino » Seg Ago 22, 2011 09:00

killerkill escreveu:o que eu devo fazer com o módulo?


Como o colega Fantini disse, temos que

\lim_{x \to 1} \frac{x^5 -1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)}{|x-1|}

Aplicando a definição de módulo, os limites laterais ficam como:

(i) \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)}{x-1} ;

(ii) \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)}{-(x-1)} .

Agora termine o exercício.

Observação
Se \lim_{x\to a^+} f(x) \neq  \lim_{x\to a^-} f(x) , então dizemos que \lim_{x\to a} f(x) não existe.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: Limite- Função modular

Mensagempor killerkill » Seg Ago 22, 2011 10:15

Luiz, foi isso que eu fiz, inclusive minha dúvida inicial é essa, pois não consegui determinar o limite quando x tende a 1 um por valores menores que ele. Então no caso meu raciocínio estava correto, ja que analisei os limites laterais. só não consegui resolver esse limite lateral.
killerkill
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 25
Registrado em: Ter Ago 09, 2011 22:39
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Eg. Elétrica
Andamento: cursando

Re: Limite- Função modular

Mensagempor LuizAquino » Seg Ago 22, 2011 10:52

killerkill escreveu:Luiz, foi isso que eu fiz, inclusive minha dúvida inicial é essa, pois não consegui determinar o limite quando x tende a 1 um por valores menores que ele.

Note que:

\lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x^4 +x^3 +x^2 +x +1) = -5

killerkill escreveu:Então no caso meu raciocínio estava correto, ja que analisei os limites laterais. só não consegui resolver esse limite lateral.


De fato, você estava no caminho. Mas, vale lembrar que, como o Fantini apontou acima, você errou o produto notável no numerador.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: Limite- Função modular

Mensagempor killerkill » Seg Ago 22, 2011 12:32

Eu notei o erro depois, mais foi erro na hora do editor de formulas, ctrl c e ctrl v, hehe... pode deixar que as regrinhas de fatoração estou por dentro.. =D mais quanto a questão, putz! é verdade, eu estava colocando o (-) no x e o (+) no 1, e depois não sabia como cancelava o denominador com o termo do numerador. mais agora vi oque eu estava fazendo errado, bastava cancelar o termo e depois o menos faria o polinômio ficar negativo. Luiz e Marcelo, muito obrigado!
killerkill
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 25
Registrado em: Ter Ago 09, 2011 22:39
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Eg. Elétrica
Andamento: cursando

Re: Limite- Função modular

Mensagempor LuizAquino » Seg Ago 22, 2011 12:44

killerkill escreveu:putz! é verdade, eu estava colocando o (-) no x e o (+) no 1, e depois não sabia como cancelava o denominador com o termo do numerador.

Veja o tópico:

Dúvida simples sobre algebra.
viewtopic.php?f=106&t=5466
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: Limite- Função modular

Mensagempor killerkill » Dom Set 04, 2011 16:45

esse limite nao existe então ne? ja que os limites laterais sao diferentes.
killerkill
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 25
Registrado em: Ter Ago 09, 2011 22:39
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Eg. Elétrica
Andamento: cursando

Re: Limite- Função modular

Mensagempor LuizAquino » Dom Set 04, 2011 17:18

killerkill escreveu:esse limite nao existe então ne? ja que os limites laterais sao diferentes.

De fato ele não existe.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 8 visitantes

 



Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D