Limite- Função modular

por **killerkill** » Sáb Ago 20, 2011 13:18

Sou eu mais uma vez!
O exercício dessa vez é um limite de uma função modular.
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^5-1}{\left|x-1 \right|}$

se x>1

$f(x)= \frac{x^5-1}{-x+1}$

se x<1

$f(x)= \frac{x^5-1}{-x+1}$

Então analisando os limites laterais:

$\lim_{x\rightarrow1^+} \frac{(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)}{x-1}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow1^+} x^4+x^3+x^2+x+1 = 1^4+1^3+1^2+1+1 = 5$

e

$\lim_{x\rightarrow1^-} \frac{x^5-1}{-x+1}$

não sei oque faço agora com esse limite . Não sei como eliminar a indeterminação dele.

por **MarceloFantini** » Sáb Ago 20, 2011 14:49

Note que

, logo: $\lim_{x \to 1} \frac{x^5 -1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)}{|x-1|}$ . Tente analisar o sinal agora.

Cuidado: $(x^5 +x^4 +x^3 +x^2 +x +1)(x-1) \neq (x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)$ .

por **killerkill** » Sáb Ago 20, 2011 17:05

Marcelo, confesso que estou meio perdido quanto ao conceito de módulo nesse exercício... a unica coisa que sei é o seguinte..
$\left|x-1 \right|\neq 0$
até onde eu sabia esse módulo poderia ser duas coisas.. ou x-1 ou -x+1... realmente estou perdendo algum detalhe do fundamento, sou meio fraco nisso... me ajuda por favor? oque eu devo fazer com o módulo? ele nao assume x-1 em uma possibilidade e -x+1 em outra nao? poderia me explicar por favor?

por **LuizAquino** » Seg Ago 22, 2011 09:00

killerkill escreveu:o que eu devo fazer com o módulo?

Como o colega Fantini disse, temos que

$\lim_{x \to 1} \frac{x^5 -1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)}{|x-1|}$

Aplicando a definição de módulo, os limites laterais ficam como:

(i) $\lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)}{x-1}$ ;

(ii) $\lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)}{-(x-1)}$ .

Agora termine o exercício.

Observação
Se $\lim_{x\to a^+} f(x) \neq \lim_{x\to a^-} f(x)$ , então dizemos que $\lim_{x\to a} f(x)$ não existe.

por **killerkill** » Seg Ago 22, 2011 10:15

Luiz, foi isso que eu fiz, inclusive minha dúvida inicial é essa, pois não consegui determinar o limite quando x tende a 1 um por valores menores que ele. Então no caso meu raciocínio estava correto, ja que analisei os limites laterais. só não consegui resolver esse limite lateral.

por **LuizAquino** » Seg Ago 22, 2011 10:52

killerkill escreveu:Luiz, foi isso que eu fiz, inclusive minha dúvida inicial é essa, pois não consegui determinar o limite quando x tende a 1 um por valores menores que ele.

Note que:

$\lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x^4 +x^3 +x^2 +x +1) = -5$

killerkill escreveu:Então no caso meu raciocínio estava correto, ja que analisei os limites laterais. só não consegui resolver esse limite lateral.

De fato, você estava no caminho. Mas, vale lembrar que, como o Fantini apontou acima, você errou o produto notável no numerador.

por **killerkill** » Seg Ago 22, 2011 12:32

Eu notei o erro depois, mais foi erro na hora do editor de formulas, ctrl c e ctrl v, hehe... pode deixar que as regrinhas de fatoração estou por dentro.. =D mais quanto a questão, putz! é verdade, eu estava colocando o (-) no x e o (+) no 1, e depois não sabia como cancelava o denominador com o termo do numerador. mais agora vi oque eu estava fazendo errado, bastava cancelar o termo e depois o menos faria o polinômio ficar negativo. Luiz e Marcelo, muito obrigado!

por **LuizAquino** » Seg Ago 22, 2011 12:44

killerkill escreveu:putz! é verdade, eu estava colocando o (-) no x e o (+) no 1, e depois não sabia como cancelava o denominador com o termo do numerador.

Veja o tópico:

Dúvida simples sobre algebra.
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