Dúvida Derivação e Integração

por **Inference** » Qua Ago 03, 2011 13:03

Amigos, vocês poderiam me ajudar a derivar essa função em relação a x?
Depois disso como eu integro a E(X)? Ou seja, preciso integrar de 0 a infinito, o resultado a derivação inicial vezes x.
Obrigado!

por **LuizAquino** » Qui Ago 04, 2011 21:37

Para derivar a função $f(x) = 1 - e^{-\frac{x}{\theta}}$ é necessário usar a Regra da Cadeia. Ficaremos com:

$f^\prime(x) = - \left(-\frac{x}{\theta}\right)^\prime e^{-\frac{x}{\theta}} \Rightarrow f^\prime(x) = \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}$

Se f(x) é a função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X, devemos ter $f(x)\geq 0$ para todo x no domínio e $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx = 1$ .

Considere agora a função:

$f(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\frac{x}{\theta}} \textrm{, se } x > 0 \\ 0 \textrm{, se } x \leq 0 \end{cases}$

Apesar dessa função ser maior ou igual a zero para todo x no seu domínio, note que $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx \neq 1$ .

Nesse contexto, f não pode ser uma função densidade de probabilidade. Não fará sentido você querer calcular E[X].

Qual é o texto completo do exercício?

Além disso, aproveito para informar que você não deve postar o texto do exercício como uma imagem, pois isso prejudica as ferramentas de busca. Por favor, sempre digite o texto do exercício.

por **Inference** » Sex Ago 05, 2011 11:48

LuizAquino escreveu:Para derivar a função $f(x) = 1 - e^{-\frac{x}{\theta}}$ é necessário usar a Regra da Cadeia. Ficaremos com:

$f^\prime(x) = - \left(-\frac{x}{\theta}\right)^\prime e^{-\frac{x}{\theta}} \Rightarrow f^\prime(x) = \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}$

Se f(x) é a função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X, devemos ter $f(x)\geq 0$ para todo x no domínio e $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx = 1$ .

Considere agora a função:

$f(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\frac{x}{\theta}} \textrm{, se } x > 0 \\ 0 \textrm{, se } x \leq 0 \end{cases}$

Apesar dessa função ser maior ou igual a zero para todo x no seu domínio, note que $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx \neq 1$ .

Nesse contexto, f não pode ser uma função densidade de probabilidade. Não fará sentido você querer calcular E[X].

Qual é o texto completo do exercício?

Além disso, aproveito para informar que você não deve postar o texto do exercício como uma imagem, pois isso prejudica as ferramentas de busca. Por favor, sempre digite o texto do exercício.

Luiz, primeiramente obrigado pela sua resposta. Fico devendo o enunciado porque estou sem ele agora.
Essa função que você derivou não é uma função densidade e sim um função de distribuição. Você derivando a função de distribuição chega à função de densidade, que é essa que você achou pela Regra da Cadeia.
Agora que é a etapa que eu não estou conseguindo, que é achar a média dessa função f'(x) (integrando de 0 a infinito).

Obrigado!

por **MarceloFantini** » Sex Ago 05, 2011 13:35

Derivando, temos que $f_X(x) = \frac{e^{\frac{-x}{\theta}}}{\theta}$ . Então $E(X) = \int_{- \infty}^{+\infty} x f(x) \, \tm{d}x = \int_0^{+ \infty} x \frac{e^{\frac{-x}{\theta}}}{\theta} \, dx$ . Agora é resolver por partes.

por **Inference** » Sex Ago 05, 2011 13:45

MarceloFantini escreveu:Derivando, temos que $f_X(x) = \frac{e^{\frac{-x}{\theta}}}{\theta}$ . Então $E(X) = \int_{- \infty}^{+\infty} x f(x) \, \tm{d}x = \int_0^{+ \infty} x \frac{e^{\frac{-x}{\theta}}}{\theta} \, dx$ . Agora é resolver por partes.

Obrigado Marcelo! Exatamente! Como eu resolvo essa integral? Fazendo Integração por Partes?

Obrigado!

por **MarceloFantini** » Sex Ago 05, 2011 13:47

Sim, integração por partes.

por **Inference** » Sex Ago 05, 2011 14:19

MarceloFantini escreveu:Sim, integração por partes.

Estou com dificuldades de fazer essa integração, pois na expressão da integração por partes temos a expressão: INT (f(x) * g'(x))dx = f(x)*g(x) - INT f'(x) * g(x) dx
Não consigo resolver a expressão INT f'(x) * g(x) dx (lembrando que ela tende também de 0 a infinito).
Eu lembro que há uma solução direta de integral de 0 a infinito para distribuição exponencial, mas acho que ela não se aplica nesse caso.

por **MarceloFantini** » Sex Ago 05, 2011 14:37

Tente resolver sem os limites para encontrar a primitiva, e depois aplique os limites no resultado.

por **Inference** » Sex Ago 05, 2011 14:50

MarceloFantini escreveu:Tente resolver sem os limites para encontrar a primitiva, e depois aplique os limites no resultado.

Eu posso resolver a integral sem o 0 e o infinito e depois aplico limites? Eu não sabia que posso resolver integrais tirando essa variação e depois aplico limites. Tentarei resolver desse jeito.

Muito obrigado!

por **MarceloFantini** » Sex Ago 05, 2011 14:58

Com aplicar os limites que quero dizer o seguinte: você tem a integral definida $\int_a^b f(x) \, dx$ , que tem uma primitiva. O que você vai fazer é resolver a integral indefinida $\int f(x) \, dx$ , encontrar a primitiva F(x)

e retornar à integral original, fazendo $\int_a^b f(x) \, dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)$ .

por **Inference** » Sex Ago 05, 2011 15:17

MarceloFantini escreveu:Com aplicar os limites que quero dizer o seguinte: você tem a integral definida $\int_a^b f(x) \, dx$ , que tem uma primitiva. O que você vai fazer é resolver a integral indefinida $\int f(x) \, dx$ , encontrar a primitiva e retornar à integral original, fazendo $\int_a^b f(x) \, dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)$ .

Ah tá, ok! Tinha entendido errado. Levei até um susto, rs...
Entendi, mas tenho que aplicar o infinito em F(x) = F(b) - F(a). Essa parte que não sei se consiguirei resolver. Irei fazer.

Obrigado!

por **LuizAquino** » Sex Ago 05, 2011 15:52

Inference escreveu:Essa função que você derivou não é uma função densidade e sim um função de distribuição.

Vamos esclarecer as definições. Para essa função do exercício ser uma função de distribuição acumulada, estamos considerando:

$F(x) = \begin{cases}1 - e^{-\frac{x}{\theta}} \textrm{, se } x > 0 \\ 0 \textrm{, se } x\leq 0\end{cases}$ , com $\theta > 0$ .

Agora você deseja calcular a integral imprópria:

$\int_0^{+\infty} \frac{x}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}\,dx$

Para fazer isso, você deve resolver o limite:

$\lim_{t\to +\infty} \int_0^{t} \frac{x}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}\,dx$

Como o colega Fantini falou, essa integral é resolvida por partes (por exemplo, fazendo $u =\frac{x}{\theta}$ e $dv = e^{-\frac{x}{\theta}}\,dx$ , portanto $du = \frac{1}{\theta}dx$ e $v = -\theta e^{-\frac{x}{\theta}}$ ). Após resolver a integral, você fica com algo como F(t) - F(0) (com F primitiva de f). Daí, basta resolver o limite:

$\lim_{t\to +\infty} F(t) - F(0)$

Observação
É recomendado que você revise o conteúdo de integrais impróprias.

por **Inference** » Sex Ago 05, 2011 17:05

LuizAquino escreveu:
Inference escreveu:Essa função que você derivou não é uma função densidade e sim um função de distribuição.

Vamos esclarecer as definições. Para essa função do exercício ser uma função de distribuição acumulada, estamos considerando:

$F(x) = \begin{cases}1 - e^{-\frac{x}{\theta}} \textrm{, se } x > 0 \\ 0 \textrm{, se } x\leq 0\end{cases}$ , com $\theta > 0$ .

Agora você deseja calcular a integral imprópria:

$\int_0^{+\infty} \frac{x}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}\,dx$

Para fazer isso, você deve resolver o limite:

$\lim_{t\to +\infty} \int_0^{t} \frac{x}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}\,dx$

Como o colega Fantini falou, essa integral é resolvida por partes (por exemplo, fazendo $u =\frac{x}{\theta}$ e $dv = e^{-\frac{x}{\theta}}\,dx$ , portanto $du = \frac{1}{\theta}dx$ e $v = -\theta e^{-\frac{x}{\theta}}$ ). Após resolver a integral, você fica com algo como F(t) - F(0) (com F primitiva de f). Daí, basta resolver o limite:

$\lim_{t\to +\infty} F(t) - F(0)$

Observação
É recomendado que você revise o conteúdo de integrais impróprias.

Ok Luiz e Fantini, muito obrigado pela ajuda!

Abs

Maurício (Inference)

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