Mostre que (Termo Geral)

por **Cleyson007** » Seg Jul 11, 2011 20:50

Boa noite amigos do Ajuda Matemática!

Seja $a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\,t^{k}$ , $t\neq 0$ e $t\neq 1$ . Mostre que o termo geral é $a_{n}=\frac{1-t^{n-1}}{1-t}$ .

Se alguém puder me ajudar, agradeço!

Até mais.

por **MarceloFantini** » Seg Jul 11, 2011 21:23

Falta uma hipótese, a de que |t| < 1

, caso contrário esse resultado é inválido. Isso é simplesmente a soma de uma progressão geométrica com primeiro termo 1 e razão t.

por **Cleyson007** » Seg Jul 11, 2011 21:47

Boa noite Fantini!

Fantini, por favor desenvolva a resolução. Eu não consegui mostar o que se pede em relação ao termo geral.

Agradeço sua ajuda.

Até mais.

por **MarceloFantini** » Seg Jul 11, 2011 22:09

Você tentou por indução?

por **Cleyson007** » Seg Jul 11, 2011 22:11

Boa noite Fantini!

Fantini, sinceramente não sei nem por onde começar.. Consegue resolver por indução?

Enfim, no que puder me ajudar serei grato.

Até mais.

por **LuizAquino** » Ter Jul 12, 2011 09:59

Como o Fantini lembrou, isso é a soma dos termos de uma p. g. com termo inicial 1, razão t e n+1 termos. Isso resulta em $\frac{1 - t^{n+1}}{1 - t}$ (note que no numerador não aparece $t^{n-1}$ como você escreveu).

A demonstração para essa fórmula pode ser encontrada até em livros do ensino médio.

Ela também é facilmente encontrada na internet. Vide por exemplo:
Progressão geométrica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C ... C3%A9trica

MarceloFantini escreveu:Falta uma hipótese, a de que |t| < 1, caso contrário esse resultado é inválido.

Note que essa hipótese não é necessária no exercício. Essa hipótese seria necessária no caso: $S = \sum_{k = 0}^{\infty} t^k = \frac{1}{1-t}$ .

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