Derivadas

por **Fabio Cabral** » Qui Jun 02, 2011 12:07

Pessoal, tenho bastante dúvidas sobre qual regra usar.

Veja:

$f(x)=({x}^{4}+{2x}^{3}).senx$

Usei a regra do produto: a'(x).b(x)+a(x).b'(x).
Obtive:

$f'(x)=({4x}^{3}+{6x}^{2}).(senx)+({x}^{4}+{2x}^{3}).(cosx)$

Eu posso aplicar a distributiva?

$f'(x)=sen{4x}^{3}+sen{6x}^{2}+cos{x}^{4}+cos{2x}^{3}$

Teria que usar essa regra do produto mesmo?

Grato

por **Fabio Cabral** » Qui Jun 02, 2011 14:42

pessoal?

por **Charlys Couto** » Qui Jun 02, 2011 15:58

E essa mesmo ...

por **LuizAquino** » Qui Jun 02, 2011 16:10

Fabio Cabral escreveu: $f'(x)=({4x}^{3}+{6x}^{2}).(\textrm{sen}\,x)+({x}^{4}+{2x}^{3}).(\cos x)$

Eu posso aplicar a distributiva?

$f'(x)=sen{4x}^{3}+sen{6x}^{2}+cos{x}^{4}+cos{2x}^{3}$

Você errou na aplicação da distributiva. O correto é:

$f'(x)=4x^3\textrm{sen}\,x + 6x^2\textrm{sen}\,x + x^4\cos x + 2x^3\cos x$

por **Fabio Cabral** » Qui Jun 02, 2011 19:35

Certo.

$f(x) \frac{x}{{x}^{2}-4}$

Aplicando a propriedade do Quociente:

$f'(x)\frac{-{2x}^{2}}{{x}^{2}-4}$

Esse é realmente o Resultado?

por **LuizAquino** » Qui Jun 02, 2011 19:47

Fabio Cabral escreveu:
$f(x) \frac{x}{{x}^{2}-4}$

Aplicando a propriedade do Quociente:

$f'(x)\frac{-{2x}^{2}}{{x}^{2}-4}$

Esse é realmente o Resultado?

Não.

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 03, 2011 11:22

Ok, Luiz.

Tentei mais uma vez e cheguei em:

$\frac {-1}{({x}^{2}-4)}$

Muito errado ainda?

Grato.

por **LuizAquino** » Sex Jun 03, 2011 12:15

Fabio Cabral escreveu:Tentei mais uma vez e cheguei em:

$\frac {-1}{({x}^{2}-4)}$

Muito errado ainda?

Sim, está.

Eu recomendo que você envie a sua resolução para que possamos encontrar o erro.

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 03, 2011 12:31

Eu mesmo o encontrei. O erro foi falta de Atenção.

Queria pedir a vocês aqui do fórum uma força no seguinte sentido.
Dizer se está certo ou não, pois estou querendo realmente SABER! E, para evitar criar vários tópicos repetidos, postarei somente nesse. Tudo bem?

1) $f(x)= cos({x}^{4}).sen({x}^{2})$
Usei a regra do produto para "montar" e para derivar, usei a regra da cadeia. Resultou em:

$f'(x)= -sen{x}^{6}.4x+cos{x}^{6}.2x$

2) $f(x) = \sqrt[3]{2x+1}$
Resultando em:

$f'(x)= \frac{1}{3}.{(2x+1)}^{\frac{-2}{3}}}$

Certo?

Obrigado, galera !

por **LuizAquino** » Sex Jun 03, 2011 14:29

Fabio Cabral escreveu:Queria pedir a vocês aqui do fórum uma força no seguinte sentido.
Dizer se está certo ou não, pois estou querendo realmente SABER! E, para evitar criar vários tópicos repetidos, postarei somente nesse. Tudo bem?

Por que ao invés disso você não aprende a usar um Sistema Computacional Algébrico? Por exemplo o SAGE, Maple ou Mathematica. Você pode usar esses programas para conferir as suas respostas.

Inclusive, alguns desses programas possuem versões que funcionam on-line. Por exemplo, viste:

http://www.sagenb.org/

http://www.wolframalpha.com/

por **Fabio Cabral** » Sáb Jun 04, 2011 19:11

Certo, Luiz.
Já tinha aqui o Maple 13, porém, usava somente pra fazer gráficos e conferir limites.

Estou com dificuldade para montar a fórmula para descobrir a derivada. Como faço?

Por exemplo: Quero descobrir a derivada de X³, como escrevo isso de forma que o Maple entenda?

Att,

por **LuizAquino** » Sáb Jun 04, 2011 21:10

Fabio Cabral escreveu:Por exemplo: Quero descobrir a derivada de X³, como escrevo isso de forma que o Maple entenda?

Eu tenho certeza que com uma rápida busca você pode encontrar milhares de páginas com tutoriais sobre o Maple! *-)

Que tal procurar um pouco?

por **Fabio Cabral** » Dom Jun 05, 2011 16:03

Certo. Dei uma olhada.

Veja:

$f(x)=\sqrt[3]{2x+1}$

$f'(x)=({2x+1})^{\frac{1}{3}}$

$f'(x)=\frac{1}{3}.({2x+1})^{\frac{-2}{3}}$

$f'(x)=\frac{1}{3}.\frac{1}{{(2x+1)}^{\frac{2}{3}}}$

Fiz dessa forma, conforme o professor ensinou para tratar de raízes.

Só que, segunda Maple13 e Wolfram, o resultado é: $f'(x)=\frac{2}{3.{(2x+1)}^{\frac{2}{3}}}$

Não entendi da onde saiu esse 2 !

Grato

por **AlbertoAM** » Dom Jun 05, 2011 19:55

Lembre-se que:
$D\left({f}^{n} \right)=n{f}^{n-1}.f'$

Ou seja, você teria que ter multiplicado a sua expressão pela derivada de (2x+1).

por **Fabio Cabral** » Dom Jun 05, 2011 20:02

Realmente funcionou. Porém estou confundido as coisas..
Isto é a regra da cadeia?

Estou estranhando porque todas as questões que ele passou com raízes, nenhuma teve que ser multiplicada pela derivada de f(x). Ou seja, apenas passei para a forma de potência, descendo o expoente e subtraindo 1 do expoente.

por **AlbertoAM** » Dom Jun 05, 2011 20:23

Sim, é a regra da cadeia.

Observe que:
Se y=x^7

então

.Porém, se:
$y=\left(5x-2 \right)^7\Rightarrow y'=7(5x-2)^6(5x-2)'=7(5x-2)^6.5=35(5x-2)^6$

Ou, seja, não temos que mais que derivar apenas x, temos uma função composta, no caso acima (5x-2).

Observe também que:
$y=\sqrt[3]{cos^2x}={cosx}^{2/3}\Rightarrow y'=\frac{2}{3}{cosx}^{-1/3}(cosx)'=\frac{-2senx}{3\sqrt[3]{cosx}}$

Novamente, não temos apenas x dentro da raiz .

por **AlbertoAM** » Dom Jun 05, 2011 20:25

AlbertoAM escreveu:Sim, é a regra da cadeia.

Observe que:
Se então .Porém, se:
$y=\left(5x-2 \right)^7\Rightarrow y'=7(5x-2)^6(5x-2)'=7(5x-2)^6.5=35(5x-2)^6$

Ou, seja, não temos que mais que derivar apenas x, temos uma função composta, no caso acima (5x-2).

Observe também que:
$y=\sqrt[3]{cos^2x}={(cosx)}^{2/3}\Rightarrow y'=\frac{2}{3}{(cosx)}^{-1/3}(cosx)'=\frac{-2senx}{3\sqrt[3]{cosx}}$

Novamente, não temos apenas x dentro da raiz .

por **Fabio Cabral** » Dom Jun 05, 2011 21:17

Muito bom, Alberto. Muito obrigado mesmo ! Mais dúvidas virão ! hehe

Abraço

por **Fabio Cabral** » Dom Jun 05, 2011 21:48

Vejamos a seguinte função:

$f(x)=ln(\frac{x}{{x}^{2}-16})$

Ultilizarei a Regra da Cadeia?

Derivei a fração do logaritmando e encontrei: $-\frac{{x}^{2}+16}{{({x}^{2}-16})^{2}}$

Se seguir a regra da cadeia, terei que derivar primeiro Log e depois multiplicar pela Fração interna.
Fiz da seguinte maneira pra achar o f'(x)Log:

$\frac{-\frac{{x}^{2}+16}{{({x}^{2}-16})^{2}}}{\frac{x}{{x}^{2}-16}}$

Depois disso tenho que multiplicar pela função interna novamente?
Não estou conseguindo resolver essa derivada !

Grato

por **AlbertoAM** » Seg Jun 06, 2011 22:52

Sim, você terá que usar novamente a Regra da Cadeia.Estou sem tempo para escrever usando o latex, então eu escaneei o que fiz no papel.
Está aqui:

Espero que entenda.

por **Fabio Cabral** » Ter Jun 07, 2011 14:09

Entendi sim. Mas pra mim, esse tipo de simplificação não podia ser feito !

por **Fabio Cabral** » Ter Jun 07, 2011 14:24

Agora, uma questão aparentemente fácil, mas que estou tendo dificuldades pra encontrar um resultado que bata com o gabarito.

$f(x)=\frac{5x}{({x}^{2}+{x}^{4})}$ :

Apliquei a regra do quociente só que não bate com o resultado que é:

$f'(x)=\frac{5({3x}^{2}+1)}{{({x}^{3}+x)}^{2}}$

por **AlbertoAM** » Ter Jun 07, 2011 16:39

Porque a simplicação não poderia ter sido feita?

Quanto ao exercíco:

$f'(x)=5\left[\frac{x^2+x^4-x(2x+4x^3)}{(x^2+x^4)^2}\right]=5\left[\frac{-3x^4-x^2}{x^8+2x^6+x^4} \right]=\\\\5\left[\left\frac{-x^2(3x^2+1)}{x^2(x^6+2x^4+x^2)}\right]=\frac{-5(3x^2+1)}{(x^3+x)^2}$

Verifique se não é -5 no gabarito por favor.

por **Fabio Cabral** » Qua Jun 08, 2011 10:10

Sim, realmente é - 5.
Agora, não consegui compreender porque o 5 multiplicou todo mundo!
Eu derivei pela regra do quociente da seguinte forma:

N(x) = 5x -> N'(x) = 5
D(x) = (x²+x^4) -> D'(x) = 2x+4x^3

E joguei na regra.

Porque esse 5?

por **AlbertoAM** » Qua Jun 08, 2011 15:16

Como o 5 é uma constante, podemos "tirar" ele da derivada.Do mesmo jeito que poderíamos ter derivado como 5x, daria na mesma, mas teríamos mais contas.