Dúvida Assíntotas e Pontos de descontinuidade

por **Dominique** » Sáb Mai 28, 2011 15:15

Olá,

Faço Administração na UERGS e tenho uma cadeira de Cálculo. Estou com muita dificuldade em uma questão que pede para indicar as assintotas verticais e horizontais e também os pontos de descontinuidade. Já pesquisei em vários materiais mas nenhum foi realmente esclarecedor para a minha dúvida. Aliás, só me deixou com mais dúvidas.

A questão trata da função: $y(x)=\frac{1}{{x}^{2}-x-6}+2$

Por fim pede valores da abcissa para os quais o limite não existe.

Já tentei algumas maneiras, mas chega em um ponto que não dá mais certo.
Gostaria de uma maneira correta para resolução.

Desde já, grata.

por **LuizAquino** » Sáb Mai 28, 2011 18:36

Vamos supor que você tenha uma função do tipo $f(x) = \frac{n(x)}{d(x)}$ , sendo que n(x) e d(x) são funções contínuas.

A função f apenas será descontínua em algum valor x se d(x) = 0.

No seu exercício, a função será descontínua caso x^2 - x - 6 = 0

.

Uma assíntota vertical ao gráfico de f ocorre quando pelo menos um dos limites abaixo for verdadeiro:
(i) $\lim_{x\to c} f(x) = \infty$
(ii) $\lim_{x\to c^-} f(x) = \infty$
(iii) $\lim_{x\to c^+} f(x) = \infty$
Nesse caso, dizemos que a equação da assíntota vertical é dada por x = c.

No seu exercício, basta analisar se há algum ponto c para o qual um dos limites acima acontece. Aqui fica uma dica: se $\lim_{x\to c} d(x) = 0$ , então a função $f(x)=\frac{1}{d(x)}$ tem uma assíntota vertical dada por x = c.

Por outro lado, uma assíntota horizontal ao gráfico de f ocorre quando pelo menos um dos limites abaixo for verdadeiro:
(i) $\lim_{x\to +\infty} f(x) = c$
(ii) $\lim_{x\to -\infty} f(x) = c$
Nesse caso, dizemos que a equação da assíntota horizontal é dada por y = c.

No seu exercício, basta você calcular o limite $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{{x}^{2}-x-6}+2$ . Para isso, aqui vai outra dica: divida tanto o numerador quanto o denominador da fração por x^2

. Em seguida, lembre-se que $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^k} = 0$ (com k natural não nulo).

Por fim, dizemos que um limite não existe quando os seus limites laterais são distintos. Isto é, o limite $\lim_{x\to c} f(x)$ não existe caso $\lim_{x\to c^-} f(x) \neq \lim_{x\to c^+} f(x)$ .

Sugestão
Eu gostaria de recomendar que você assista as vídeo-aulas "04. Cálculo I - Limites e Continuidade", "05. Cálculo I - Limites Infinitos" e "06. Cálculo I - Limites no Infinito". Elas estão disponíveis em meu canal:
http://www.youtube.com/LCMAquino

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Re: Dúvida Assíntotas e Pontos de descontinuidade

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