Integral do módulo?

por **Questioner** » Dom Mai 16, 2010 18:15

Olá,

Estou com uma dúvida na seguinte questão:

Se $f(a) = \int_{0}^{2}|x(x-a)|dx$ para $0\leq a \leq 2$ .

Encontre a função f(a)

O gabarito seria:

$-\int_{0}^{a}x(x-a)dx - \int_{a}^{2} x(x-a)dx$
Que seria igual a $\frac{a³}{3}-2a+\frac{8}{3}$

Tudo bem, resolver a integral é fácil. Mas, teoricamente, por que separar as integrais de 0 a A e de A a 2? E por que elas devem ficar negativas?

Valeu!

por **Cahu** » Qua Abr 20, 2011 23:11

Se f(a) = \int_{0}^{2}|x(x-a)|dx para 0\leq a \leq 2.

como o 0<a<2 e 0<x<2 entao para x(x-a) com x<a temos que o resultado dessa integral é negativa, por isso o sinal de menos e a divisão para 2 integrais, a segunda parte pode ser feita normalmente pois o valor é positivo e não precisa do sinal de menos.

-\int_{0}^{a}x(x-a)dx + \int_{a}^{2} x(x-a)dx

por **LuizAquino** » Qui Abr 21, 2011 09:38

Questioner escreveu:Mas, teoricamente, por que separar as integrais de 0 a A e de A a 2? E por que elas devem ficar negativas?

Do ponto de vista teórico, é necessário apenas lembrar da definição de módulo de um número real x:

$|x| = \begin{cases}x\textrm{, se } x\geq 0 \\ -x\textrm{, se } x < 0\end{cases}$

Desse modo, aplicando a definição para |x(x-a)| (lembrando que $0\leq a \leq 2$ e $0\leq x \leq 2$ neste exercício):

$|x(x-a)| = \begin{cases}x(x-a)\textrm{, se } x(x-a) \geq 0 \\ -x(x-a)\textrm{, se } x(x-a) < 0\end{cases} \Rightarrow |x(x-a)| = \begin{cases}x(x-a)\textrm{, se } x \geq a \\ -x(x-a)\textrm{, se } x < a\end{cases}$

Portanto, temos que:
$f(a) = \int_{0}^{2}|x(x-a)|dx = -\int_{0}^{a}x(x-a)\,dx + \int_{a}^{2} x(x-a)\,dx = \frac{1}{3}a^3 - 2a + \frac{8}{3}$ .

Note que apenas na primeira integral deve aparecer o sinal negativo antes dela.

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