resolução derivada integral

por **MARCIOESTUDIOSO** » Seg Fev 14, 2011 10:33

Olá Amigos!
Tudo bem?
Estou entrando em contato porque eu fiz essa derivada, e não está batendo com gabarito de resposta, gostaria que em ajudasse a resolver e me mostrasse aonde estou errando por favor.
mais antes veja o que fiz
u=tg(x)
du=sec²(x)dx
?tg³(x)sec²(x)dx=
?u³du=
(u^3)/3+c=
tg^3(x)/3
3x2.34
?
não consigo entender aonde to errando?
se pode me ajudar por favor.
Não posso criar novos tópicos, não entendi motivo mesmo
gostaria de resposta sobre isso..
e para evitar problemas, tirei questão em anexo.
vou escrever.
? (3 sec x tgx - 5 cos sec^2 x) dx
Bom tah ai!
se pode me ajudar me orientando, não fazendo para "mim" eu agradeço!

por **MARCIOESTUDIOSO** » Seg Fev 14, 2011 19:52

Não entendi!!
eu tentei fazer?
porque excluir?
eu só coloquei anunciado em anexo?
gostaria saber porque motivo disso?

por **LuizAquino** » Ter Fev 15, 2011 01:08

Exercício 1: $\int \tan^3 x \sec^2 x \,dx$

Seja $u=\tan\ x$ . Desse modo, $du = \sec^2 x \,dx$ . Portanto, temos que

$\int \tan^3 x \sec^2 x \,dx = \int u^3 \,du = \frac{u^4}{4} + c = \frac{\tan^4 x}{4} + c$

Exercício 2: $\int 3\sec x \tan x - 5\cos x \sec^2 x\,dx$

Como $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ , então essa integral é o mesmo que:

$\int 3\sec x \tan x - 5\sec x\,dx$

Separando em duas:
$3\int \sec x \tan x \,dx -5\int \sec x\,dx$

Para resolver a primeira, basta lembrar que $(\sec x)^\prime = \sec x \tan x$ .

Para resolver a segunda, há um truque algébrico. Devemos multiplicar e dividir o integrando por $\tan x + \sec x$ . Ou seja, teremos:
$\int \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\tan x + \sec x}\,dx = \int \frac{\sec x\tan x + \sec^2 x}{\tan x + \sec x}\,dx$

Agora, fazendo a substituição $u = \tan x + \sec x$ , temos que $du = \sec^2 x + \sec x\tan x\, dx$ . Portanto, ficamos:
$\int \frac{\sec x\tan x + \sec^2 x}{\tan x + \sec x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln |u| + c = \ln |\tan x + \sec x| + c$ .

Logo, teremos que:
$\int 3\sec x \tan x - 5\cos x \sec^2 x\,dx = 3\sec x - 5\ln |\tan x + \sec x| + c$

por **MarceloFantini** » Ter Fev 15, 2011 12:21

Luiz: interessante esse truque. É algo famoso? Eu não tive isso no meu curso de cálculo 1.

por **LuizAquino** » Ter Fev 15, 2011 14:37

Olá Fantini,

Não sei a origem desse truque. Foi algo que aprendi quando fiz o curso de Cálculo I. Inclusive, se você procurar pelo google por "integral da secante" irá encontrar muitas páginas ensinando o truque.