Triangulo e quadrado, perimetro constante

por **heldersmd** » Sáb Set 15, 2012 12:42

Na questão:
ABCD é um quadradod~lado 1. P e Q são pontos em AB e BC tais que o, ângulo P DQ é igual a 45°. Prove que o perímetrodo triânguloPBQ é constante.
tentei ir pelos angulos que sobram dos 45º. assim utilizei os senos destes angulos depois tentei soma-los. depois tentei com a tangente mas tambem nao deu em nada.
Nestas questões de prove tem algum macete???
Muito, muito obrigado pela ajuda!!!!!

por **young_jedi** » Sáb Set 15, 2012 14:54

pelo que vc descreveu eu acho que o desenho é este

: quadrado; quadrado.jpg (10.99 KiB) Exibido 1250 vezes

sendo assim temos que

$tg(45^o-\theta)&=&\frac{tg45^o - tg\theta}{1+tg45^o.tg\theta}$

$tg(45^o-\theta)&=&\frac{1 - tg\theta}{1+tg\theta}$

$1-tg(45^o-\theta)&=&1-\frac{1 - tg\theta}{1+tg\theta}$

$1-tg(45^o-\theta)&=&\frac{2tg\theta}{1+tg\theta}$

encontrando x

$x=\sqrt{(1-tg\theta)^2+\left(\frac{2tg\theta}{1+tg\theta}\right)^2}$

$x=\sqrt{\frac{(1-tg^2\theta)^2+4tg^2\theta}{(1+tg\theta)^2}$

$x=\sqrt{\frac{1-2tg^2\theta+tg^4\theta+4t^2\theta}{(1+tg\theta)^2}$

$x=\sqrt{\frac{1+2tg^2\theta+tg^4\theta}{(1+tg\theta)^2}$

$x=\sqrt{\frac{(1+tg^2\theta)^2}{(1+tg\theta)^2}$

$x={\frac{(1+tg^2\theta)}{(1+tg\theta)}$

assim o perimetro sera

$P&=&1-tg\theta+\frac{2tg\theta}{1+tg\theta}+\frac{(1+tg^2\theta)}{(1+tg\theta)}$

calculando o denominador

$P&=&\frac{1-tg^2\theta+2tg\theta+1+tg^2\theta}{1+tg\theta}$

$P&=&\frac{2+2tg\theta}{1+tg\theta}$

dai em diante é facil chegar ao valor do perimetro
Obs(talvez exista um jeito mais simples de se chegar a resposta mais a maneira que eu encherguei foi essa)
quanto a existencia de um macete não conheo nenhum, mais a dica é sempre relacionar as variaveis que voce tem pelo maior numero de relações possivel, utilizando destas relações voce chegar na resposta

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