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por anfran1 » Dom Jul 08, 2012 12:27
13. (OSCM 2009 - Adaptada) Seja ABC um triângulo inscrito em uma circunferência em que o lado AC do triângulo é um diâmetro. A bissetriz de B intercepta a circunferência no ponto D. Sabendo que AB=4 e que BC=2 , calcule BD.
Esse exercício eu não consegui resolver mas dei alguns passos:
1) Como AC é diâmetro, então o ângulo B é reto.
2)Aplicando Pitágoras no triângulo ABC temos que AC=
.
À partir daí não sei o que fazer. Marquei então o ponto E no qual a bissetriz de B intercepta AC. Percebi que ABD e EBC são semelhantes. No entanto é necessário conhecer mais valores para aplicar a relação de semelhança. Não sei se para continuar o exercício devo usar relações trigonométricas(seno, tangente, etc.) . Tentei lembrar de algo que meu professor ensinou como o Teorema da Bissetriz Interna.
Por favor me ajudem.
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anfran1
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por fraol » Dom Jul 08, 2012 23:47
Boa noite,
Fiz um desenho auxiliar:
- tria.png (12.26 KiB) Exibido 4531 vezes
Você determinou que AC mede
.
O teorema da bissetriz interna trata da relação entre os lados adjacentes ao ângulo e os segmentos, no lado oposto, determinados pela bissetriz. Isto é:
.
Então
.
Por outro lado, o cosseno do ângulo
.
Com estes dados você pode aplicar a lei dos cossenos (você a conhece?) e assim obter a medida de BD:
.
Basta substituir os valores.
Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.
.
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fraol
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por Arkanus Darondra » Seg Jul 09, 2012 00:09
fraol escreveu:Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.
Não analisei toda a resolução, porém, observando a figura, creio que a localização do ponto D esteja errada.
O ponto deveria estar sobre a circunferência, no ponto de intersecção com a bissetriz do ângulo reto.
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por fraol » Seg Jul 09, 2012 02:28
Arkanus Darondra escreveu:fraol escreveu:Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.
Não analisei toda a resolução, porém, observando a figura, creio que a localização do ponto D esteja errada.
O ponto deveria estar sobre a circunferência, no ponto de intersecção com a bissetriz do ângulo reto.
Tem razão. Não atentei ao enunciado quanto a posição do ponto D.
Bom, para não refazer o desenho vamos chamar o tal ponto de interseção da bissetriz de E.
Por propriedades da bissetriz concluiremos que AE e CE são iguais e portanto que os ângulos DÂE e DCE são iguais e valem 45 graus pois AEC vale 90 graus e o triângulo AEC é isósceles. Para calcular AE usamos Pitágoras. AD já temos da (meia) solução anterior. Então, temos dois lados e o ângulo entre eles. Isto é no triângulo AED sabemos AD, AE e o ângulo cujo cosseno é
. Logo aplicamos a lei dos cossenos novamente para o lado DE desse triângulo.
Como já temos BD, basta somar com DE para obtermos a resposta final, aí o jeito é fazer as contas .
Arkanus Darondra dá uma geral, por favor, pra ver se não passou mais nada.
.
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por Arkanus Darondra » Seg Jul 09, 2012 11:42
Fraol, como eu desconheço a propriedade da bissetriz que você utilizou, creio que apenas o cálculo de AD esteja errado.
Então
Considerando o Triângulo BEC, temos que BÊC = BÂC =
e que DBC = BBA = 45º
Aplicando a lei dos senos no Triângulo BEC, vem:
Como o Triângulo BEC é semelhante ao Triângulo BAD (caso AA), vem:
Editado pela última vez por
Arkanus Darondra em Ter Jul 10, 2012 14:19, em um total de 1 vez.
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por anfran1 » Ter Jul 10, 2012 13:48
Fiquei um pouco confuso com essas marcações. No caso o ponto E que vocês falam seria o ponto D do enunciado e o ponto D que vocês falam seria a ponto E que eu marquei ao tentar resolver o exercício?
E o objetivo é calcular o valor do segmento que vai do vértice B até o ponto da interseção(não sei se o português está correto) entre a bissetriz de B e a circunferência.
E sim, eu conheço a lei dos cossenos.
Desde já eu agradeço.
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por fraol » Ter Jul 10, 2012 14:00
Boa tarde,
anfran1,
Considere E na nossa discussão como sendo o seu ponto D, assim a resposta que se procura é a medida do segmento BE. ( no enunciado que você postou seria BD - desculpe foi confusão minha ).
Arkanus Darondra,
Essa medida
é superior ao diâmetro do círculo que o
anfran1 encontrou.
Obs: Há uma outra relação que, me parece, torna a solução do problema mais simples:
.
Essa relação utiliza alguns resultados que discutimos acima.
.
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fraol
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por anfran1 » Ter Jul 10, 2012 14:04
fraol escreveu:Boa tarde,
anfran1,
Considere E na nossa discussão como sendo o seu ponto D, assim a resposta que se procura é a medida do segmento BE. ( no enunciado que você postou seria BD - desculpe foi confusão minha ).
Arkanus Darondra,
Essa medida
é superior ao diâmetro do círculo que o
anfran1 encontrou.
Obs: Há uma outra relação que, me parece, torna a solução do problema mais simples:
.
Essa relação utiliza alguns resultados que discutimos acima.
.
Obrigado. Só tenho mais uma dúvida. Eu tive de adaptar o exercício por conta própria para que pudesse ser entendido poia havia uma imagem no mesmo. Como faço para postar um imagem?
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por fraol » Ter Jul 10, 2012 14:13
Oi,
Quando você está editando a postagem na parte inferior da caixa de digitação há uma aba com um link "Adicionar um anexo". Ali você pode escolher uma figura armazenada no seu computador e enviar - é necessário dar um nome para a figura, por exemplo: fig1 ou o que você achar conveniente.
.
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fraol
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por Arkanus Darondra » Ter Jul 10, 2012 14:20
fraol escreveu:Essa medida
é superior ao diâmetro do círculo que o
anfran1 encontrou.
Tem razão. Creio que o erro esteja neste passo:
Arkanus Darondra escreveu:
O correto seria 3
CD=AC.
Editei acima.
Obrigado por notar.
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por anfran1 » Ter Jul 10, 2012 14:21
Arkanus Darondra escreveu:Fraol, como eu desconheço a propriedade da bissetriz que você utilizou, creio que apenas o cálculo de AD esteja errado.
Considerando o Triângulo BEC, temos que BÊC = BÂC =
e que DBC = BBA = 45º
Aplicando a lei dos senos no Triângulo BEC, vem:
Como o Triângulo BEC é semelhante ao Triângulo BAD (caso AA), vem:
Andei pesquisando em minhas apostilas e achei o tópico que fala sobre o teorema da bissetriz interna.
Aproveitando o desenho acima esse teorema pode ser comprovado da seguinte maneira:
1) Traça-se uma parelela (y) à bissetriz BD passando pelo ponto C.
2) Prolonga-se o lado AB até que esse encontre y no ponto K.}
3)Perceba que o triângulo BCK é isósceles, pois os ângulos ABD, DBC, BCK e BKC são todos do mesmo tamanho, portantoos lados BC=BK.
4) Basta aplicar o Teorema de Tales para comprovar a relação.
Isso fica apenas a cargo de curiosidade.
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Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42
Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois
2°) Admitamos que
, seja verdadeira:
(hipótese da indução)
e provemos que
Temos: (Nessa parte)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55
Boa noite Fontelles.
Não sei se você está familiarizado com o
Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.
Ele dá uma equação, no caso:
E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:
Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que
seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para
.
Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28
Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32
Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25
Boa tarde Fontelles!
Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.
O que temos que provar é isso:
, certo? O autor começou do primeiro membro:
Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:
Que é outra verdade. Agora, com certeza:
Agora, como
é
a
, e este por sua vez é sempre
que
, logo:
Inclusive, nunca é igual, sempre maior.
Espero (dessa vez) ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39
Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37
c.q.d. = como queriamos demonstrar =)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33
Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05
Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04
MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa.
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