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OSCM 2009 - Triângulo inscrito

OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor anfran1 » Dom Jul 08, 2012 12:27

13. (OSCM 2009 - Adaptada) Seja ABC um triângulo inscrito em uma circunferência em que o lado AC do triângulo é um diâmetro. A bissetriz de B intercepta a circunferência no ponto D. Sabendo que AB=4 e que BC=2 , calcule BD.

Esse exercício eu não consegui resolver mas dei alguns passos:
1) Como AC é diâmetro, então o ângulo B é reto.
2)Aplicando Pitágoras no triângulo ABC temos que AC=2\sqrt[2]{5}.
À partir daí não sei o que fazer. Marquei então o ponto E no qual a bissetriz de B intercepta AC. Percebi que ABD e EBC são semelhantes. No entanto é necessário conhecer mais valores para aplicar a relação de semelhança. Não sei se para continuar o exercício devo usar relações trigonométricas(seno, tangente, etc.) . Tentei lembrar de algo que meu professor ensinou como o Teorema da Bissetriz Interna.
Por favor me ajudem.
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Re: OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor fraol » Dom Jul 08, 2012 23:47

Boa noite,

Fiz um desenho auxiliar:

tria.png
tria.png (12.26 KiB) Exibido 4514 vezes



Você determinou que AC mede 2 \sqrt{5}.

O teorema da bissetriz interna trata da relação entre os lados adjacentes ao ângulo e os segmentos, no lado oposto, determinados pela bissetriz. Isto é:

\frac{med(CD)}{med(BC)} = \frac{med(AD)}{med(AB)} \iff \frac{med(CD)}{2} = \frac{med(AD)}{4}

\iff med(CD) = \frac{med(AD)}{2} .

Então med(AD) =  \frac{2}{3} . 2 . \sqrt{5}  = \frac{4 . \sqrt{5} }{3}.

Por outro lado, o cosseno do ângulo BÂC = cos \alpha = \frac{4}{2 \sqrt{5}}.

Com estes dados você pode aplicar a lei dos cossenos (você a conhece?) e assim obter a medida de BD:

[med(BD)]^2 = [med(AB)]^2 + [med(AD)]^2 - 2 med(AB) med(AD) . cos \alpha.

Basta substituir os valores.

Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.

.
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Re: OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor Arkanus Darondra » Seg Jul 09, 2012 00:09

fraol escreveu:Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.

Não analisei toda a resolução, porém, observando a figura, creio que a localização do ponto D esteja errada.
O ponto deveria estar sobre a circunferência, no ponto de intersecção com a bissetriz do ângulo reto.
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Re: OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor fraol » Seg Jul 09, 2012 02:28

Arkanus Darondra escreveu:
fraol escreveu:Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.

Não analisei toda a resolução, porém, observando a figura, creio que a localização do ponto D esteja errada.
O ponto deveria estar sobre a circunferência, no ponto de intersecção com a bissetriz do ângulo reto.


Tem razão. Não atentei ao enunciado quanto a posição do ponto D.
Bom, para não refazer o desenho vamos chamar o tal ponto de interseção da bissetriz de E.
Por propriedades da bissetriz concluiremos que AE e CE são iguais e portanto que os ângulos DÂE e DCE são iguais e valem 45 graus pois AEC vale 90 graus e o triângulo AEC é isósceles. Para calcular AE usamos Pitágoras. AD já temos da (meia) solução anterior. Então, temos dois lados e o ângulo entre eles. Isto é no triângulo AED sabemos AD, AE e o ângulo cujo cosseno é \frac{\sqrt{2}}{2}. Logo aplicamos a lei dos cossenos novamente para o lado DE desse triângulo.
Como já temos BD, basta somar com DE para obtermos a resposta final, aí o jeito é fazer as contas .

Arkanus Darondra dá uma geral, por favor, pra ver se não passou mais nada.

.
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Re: OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor Arkanus Darondra » Seg Jul 09, 2012 11:42

Fraol, como eu desconheço a propriedade da bissetriz que você utilizou, creio que apenas o cálculo de AD esteja errado.

CD = \frac{AD}{2}
3CD = AC \Rightarrow CD = \frac{2\sqrt5}{3}
Então AD = \frac{4\sqrt5}{3}

Considerando o Triângulo BEC, temos que BÊC = BÂC = \alpha e que DBC = BBA = 45º
Aplicando a lei dos senos no Triângulo BEC, vem:
\frac{EC}{sen{45}} = 2R = AC = 2\sqrt5 \Rightarrow EC = \sqrt{10}

Como o Triângulo BEC é semelhante ao Triângulo BAD (caso AA), vem:
\frac{EC}{AD} = \frac{BE}{AB} \Rightarrow \frac{\sqrt{10}}{\frac{4\sqrt5}{3}} = \frac{BE}{4}
BE = 3\sqrt2
Editado pela última vez por Arkanus Darondra em Ter Jul 10, 2012 14:19, em um total de 1 vez.
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Re: OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor anfran1 » Ter Jul 10, 2012 13:48

Fiquei um pouco confuso com essas marcações. No caso o ponto E que vocês falam seria o ponto D do enunciado e o ponto D que vocês falam seria a ponto E que eu marquei ao tentar resolver o exercício?
E o objetivo é calcular o valor do segmento que vai do vértice B até o ponto da interseção(não sei se o português está correto) entre a bissetriz de B e a circunferência.
E sim, eu conheço a lei dos cossenos.
Desde já eu agradeço.
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Re: OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor fraol » Ter Jul 10, 2012 14:00

Boa tarde,

anfran1,

Considere E na nossa discussão como sendo o seu ponto D, assim a resposta que se procura é a medida do segmento BE. ( no enunciado que você postou seria BD - desculpe foi confusão minha ).

Arkanus Darondra,

Essa medida BE = 6 \sqrt{2} é superior ao diâmetro do círculo que o anfran1 encontrou.


Obs: Há uma outra relação que, me parece, torna a solução do problema mais simples:

\frac{CE}{CD} = \frac{BE}{BC}.

Essa relação utiliza alguns resultados que discutimos acima.

.
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Re: OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor anfran1 » Ter Jul 10, 2012 14:04

fraol escreveu:Boa tarde,

anfran1,

Considere E na nossa discussão como sendo o seu ponto D, assim a resposta que se procura é a medida do segmento BE. ( no enunciado que você postou seria BD - desculpe foi confusão minha ).

Arkanus Darondra,

Essa medida BE = 6 \sqrt{2} é superior ao diâmetro do círculo que o anfran1 encontrou.


Obs: Há uma outra relação que, me parece, torna a solução do problema mais simples:

\frac{CE}{CD} = \frac{BE}{BC}.

Essa relação utiliza alguns resultados que discutimos acima.

.

Obrigado. Só tenho mais uma dúvida. Eu tive de adaptar o exercício por conta própria para que pudesse ser entendido poia havia uma imagem no mesmo. Como faço para postar um imagem?
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Re: OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor fraol » Ter Jul 10, 2012 14:13

Oi,

Quando você está editando a postagem na parte inferior da caixa de digitação há uma aba com um link "Adicionar um anexo". Ali você pode escolher uma figura armazenada no seu computador e enviar - é necessário dar um nome para a figura, por exemplo: fig1 ou o que você achar conveniente.

.
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Re: OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor Arkanus Darondra » Ter Jul 10, 2012 14:20

fraol escreveu:Essa medida BE = 6 \sqrt{2} é superior ao diâmetro do círculo que o anfran1 encontrou.

Tem razão. Creio que o erro esteja neste passo:
Arkanus Darondra escreveu:CD = \frac{AD}{2}
3AD = AC \Rightarrow AD = \frac{2\sqrt5}{3}

O correto seria 3CD=AC.

Editei acima.
Obrigado por notar.
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Re: OSCM 2009 - Triângulo inscrito

Mensagempor anfran1 » Ter Jul 10, 2012 14:21

Arkanus Darondra escreveu:Fraol, como eu desconheço a propriedade da bissetriz que você utilizou, creio que apenas o cálculo de AD esteja errado.

CD = \frac{AD}{2}
3AD = AC \Rightarrow AD = \frac{2\sqrt5}{3}

Considerando o Triângulo BEC, temos que BÊC = BÂC = \alpha e que DBC = BBA = 45º
Aplicando a lei dos senos no Triângulo BEC, vem:
\frac{EC}{sen{45}} = 2R = AC = 2\sqrt5 \Rightarrow EC = \sqrt{10}

Como o Triângulo BEC é semelhante ao Triângulo BAD (caso AA), vem:
\frac{EC}{AD} = \frac{BE}{AB} \Rightarrow \frac{\sqrt{10}}{\frac{2\sqrt5}{3}} = \frac{BE}{4}
BE = 6\sqrt2


Andei pesquisando em minhas apostilas e achei o tópico que fala sobre o teorema da bissetriz interna.
Aproveitando o desenho acima esse teorema pode ser comprovado da seguinte maneira:
1) Traça-se uma parelela (y) à bissetriz BD passando pelo ponto C.
2) Prolonga-se o lado AB até que esse encontre y no ponto K.}
3)Perceba que o triângulo BCK é isósceles, pois os ângulos ABD, DBC, BCK e BKC são todos do mesmo tamanho, portantoos lados BC=BK.
4) Basta aplicar o Teorema de Tales para comprovar a relação.
Isso fica apenas a cargo de curiosidade.
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Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
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\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}