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por anfran1 » Dom Jul 08, 2012 12:27
13. (OSCM 2009 - Adaptada) Seja ABC um triângulo inscrito em uma circunferência em que o lado AC do triângulo é um diâmetro. A bissetriz de B intercepta a circunferência no ponto D. Sabendo que AB=4 e que BC=2 , calcule BD.
Esse exercício eu não consegui resolver mas dei alguns passos:
1) Como AC é diâmetro, então o ângulo B é reto.
2)Aplicando Pitágoras no triângulo ABC temos que AC=
.
À partir daí não sei o que fazer. Marquei então o ponto E no qual a bissetriz de B intercepta AC. Percebi que ABD e EBC são semelhantes. No entanto é necessário conhecer mais valores para aplicar a relação de semelhança. Não sei se para continuar o exercício devo usar relações trigonométricas(seno, tangente, etc.) . Tentei lembrar de algo que meu professor ensinou como o Teorema da Bissetriz Interna.
Por favor me ajudem.
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anfran1
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por fraol » Dom Jul 08, 2012 23:47
Boa noite,
Fiz um desenho auxiliar:
- tria.png (12.26 KiB) Exibido 4536 vezes
Você determinou que AC mede
.
O teorema da bissetriz interna trata da relação entre os lados adjacentes ao ângulo e os segmentos, no lado oposto, determinados pela bissetriz. Isto é:
.
Então
.
Por outro lado, o cosseno do ângulo
.
Com estes dados você pode aplicar a lei dos cossenos (você a conhece?) e assim obter a medida de BD:
.
Basta substituir os valores.
Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.
.
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fraol
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por Arkanus Darondra » Seg Jul 09, 2012 00:09
fraol escreveu:Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.
Não analisei toda a resolução, porém, observando a figura, creio que a localização do ponto D esteja errada.
O ponto deveria estar sobre a circunferência, no ponto de intersecção com a bissetriz do ângulo reto.
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por fraol » Seg Jul 09, 2012 02:28
Arkanus Darondra escreveu:fraol escreveu:Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.
Não analisei toda a resolução, porém, observando a figura, creio que a localização do ponto D esteja errada.
O ponto deveria estar sobre a circunferência, no ponto de intersecção com a bissetriz do ângulo reto.
Tem razão. Não atentei ao enunciado quanto a posição do ponto D.
Bom, para não refazer o desenho vamos chamar o tal ponto de interseção da bissetriz de E.
Por propriedades da bissetriz concluiremos que AE e CE são iguais e portanto que os ângulos DÂE e DCE são iguais e valem 45 graus pois AEC vale 90 graus e o triângulo AEC é isósceles. Para calcular AE usamos Pitágoras. AD já temos da (meia) solução anterior. Então, temos dois lados e o ângulo entre eles. Isto é no triângulo AED sabemos AD, AE e o ângulo cujo cosseno é
. Logo aplicamos a lei dos cossenos novamente para o lado DE desse triângulo.
Como já temos BD, basta somar com DE para obtermos a resposta final, aí o jeito é fazer as contas .
Arkanus Darondra dá uma geral, por favor, pra ver se não passou mais nada.
.
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por Arkanus Darondra » Seg Jul 09, 2012 11:42
Fraol, como eu desconheço a propriedade da bissetriz que você utilizou, creio que apenas o cálculo de AD esteja errado.
Então
Considerando o Triângulo BEC, temos que BÊC = BÂC =
e que DBC = BBA = 45º
Aplicando a lei dos senos no Triângulo BEC, vem:
Como o Triângulo BEC é semelhante ao Triângulo BAD (caso AA), vem:
Editado pela última vez por
Arkanus Darondra em Ter Jul 10, 2012 14:19, em um total de 1 vez.
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por anfran1 » Ter Jul 10, 2012 13:48
Fiquei um pouco confuso com essas marcações. No caso o ponto E que vocês falam seria o ponto D do enunciado e o ponto D que vocês falam seria a ponto E que eu marquei ao tentar resolver o exercício?
E o objetivo é calcular o valor do segmento que vai do vértice B até o ponto da interseção(não sei se o português está correto) entre a bissetriz de B e a circunferência.
E sim, eu conheço a lei dos cossenos.
Desde já eu agradeço.
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por fraol » Ter Jul 10, 2012 14:00
Boa tarde,
anfran1,
Considere E na nossa discussão como sendo o seu ponto D, assim a resposta que se procura é a medida do segmento BE. ( no enunciado que você postou seria BD - desculpe foi confusão minha ).
Arkanus Darondra,
Essa medida
é superior ao diâmetro do círculo que o
anfran1 encontrou.
Obs: Há uma outra relação que, me parece, torna a solução do problema mais simples:
.
Essa relação utiliza alguns resultados que discutimos acima.
.
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por anfran1 » Ter Jul 10, 2012 14:04
fraol escreveu:Boa tarde,
anfran1,
Considere E na nossa discussão como sendo o seu ponto D, assim a resposta que se procura é a medida do segmento BE. ( no enunciado que você postou seria BD - desculpe foi confusão minha ).
Arkanus Darondra,
Essa medida
é superior ao diâmetro do círculo que o
anfran1 encontrou.
Obs: Há uma outra relação que, me parece, torna a solução do problema mais simples:
.
Essa relação utiliza alguns resultados que discutimos acima.
.
Obrigado. Só tenho mais uma dúvida. Eu tive de adaptar o exercício por conta própria para que pudesse ser entendido poia havia uma imagem no mesmo. Como faço para postar um imagem?
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por fraol » Ter Jul 10, 2012 14:13
Oi,
Quando você está editando a postagem na parte inferior da caixa de digitação há uma aba com um link "Adicionar um anexo". Ali você pode escolher uma figura armazenada no seu computador e enviar - é necessário dar um nome para a figura, por exemplo: fig1 ou o que você achar conveniente.
.
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fraol
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por Arkanus Darondra » Ter Jul 10, 2012 14:20
fraol escreveu:Essa medida
é superior ao diâmetro do círculo que o
anfran1 encontrou.
Tem razão. Creio que o erro esteja neste passo:
Arkanus Darondra escreveu:
O correto seria 3
CD=AC.
Editei acima.
Obrigado por notar.
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por anfran1 » Ter Jul 10, 2012 14:21
Arkanus Darondra escreveu:Fraol, como eu desconheço a propriedade da bissetriz que você utilizou, creio que apenas o cálculo de AD esteja errado.
Considerando o Triângulo BEC, temos que BÊC = BÂC =
e que DBC = BBA = 45º
Aplicando a lei dos senos no Triângulo BEC, vem:
Como o Triângulo BEC é semelhante ao Triângulo BAD (caso AA), vem:
Andei pesquisando em minhas apostilas e achei o tópico que fala sobre o teorema da bissetriz interna.
Aproveitando o desenho acima esse teorema pode ser comprovado da seguinte maneira:
1) Traça-se uma parelela (y) à bissetriz BD passando pelo ponto C.
2) Prolonga-se o lado AB até que esse encontre y no ponto K.}
3)Perceba que o triângulo BCK é isósceles, pois os ângulos ABD, DBC, BCK e BKC são todos do mesmo tamanho, portantoos lados BC=BK.
4) Basta aplicar o Teorema de Tales para comprovar a relação.
Isso fica apenas a cargo de curiosidade.
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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