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Última mensagem por Janayna
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por Livia000 » Qui Jun 21, 2012 18:04
Olá!
Alguém poderia me ajudar nessa questão?
- Seja P um ponto no interior de um quadrado ABCD, tal que PA:PB:PC = 1:2:3. Ache o ângulo APB.
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Livia000
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por Russman » Qui Jun 21, 2012 21:08
Você tem o gabarito. Estou calculando 126 graus.
"Ad astra per aspera."
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Russman
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por Livia000 » Qui Jun 21, 2012 21:58
Infelizmente, não tenho o gabarito... =/
Você poderia explicar a sua ideia?
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Livia000
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por Russman » Qui Jun 21, 2012 22:26
quote="Livia000"]- Seja P um ponto no interior de um quadrado ABCD, tal que PA:PB:PC = 1:2:3. Ache o ângulo APB.
[/quote]
Esta foi a minha ideia:
Primeiramente, vamos renomear PA = x, PB = y ,PC = w e APB = â. Assim,
x/y = 1/2 (1)
y/w = 2/3 (2)
Seja L o lado do quadrado e o angulo BPC = b. Aplicando o Teorema dos Cossenos no triângulo APB, temos
L² = x² + y² + xy.cos(â)
que utilizando (1) se resume a
L² = x²(5 - 4cos(â)). (3)
Aplicando o mesmo teorema ao triângulo BPC, temos
L² = y² + w² -2yw,cos(b)
que utilizando a relação obtida de (1) e (2), que y=2x e w=3x, se resume a
L² = x²(13 - 12cos(b)). (4)
De (3) e (4) obtemos a primeira relação:
2= 3cos(b) - cos(a) (I).
Agora, traçando a diagonal do quadrado podemos aplicar novamente (haha) o Teorema dos cossenos e perceber que
2L² = x² + w² - 2xw.cos(a +b)
de onde, utilizando w=3x, se resume a
L² = x²(5-3cos(a+b)) (4).
Comparando essa equação com a (3), temos a segunda relação
cos(a+b) = (4/3)cos(a) (II)
Como sabemos que cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b) e sin²(x) = 1 - cos²(x), é só sitematizar as equações (I) e (II) que obtemos uma solução.
Porém essa equação fica muito complicada de se resolver analiticamente e eu recorri a um processo computacional que calculou 126 graus aproximadamente.
Tem de ter alguma solução mais simples. ;(
"Ad astra per aspera."
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Russman
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Geometria Plana
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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