triangulo inscrito

por **alfabeta** » Qui Mar 01, 2012 15:51

Um triângulo eqüilátero ABC está inscrito em um círculo de raio r. Sejam: D, o ponto médio do arco AC e F, oponto médio do lado BC (do triângulo). Prolongue o segmento
de reta DF, a partir de F, até encontrar o círculo em G. Determine, em termos de r, a medida do segmento FG.

Não consigo fazer o desenho desta figura. Alguem poderia me ajudar?

por **timoteo** » Qui Mar 01, 2012 20:19

alfa, onde esta o ponto G, vc nao cita ele durante o argumentaçao do problema. onde ele esta?

por **alfabeta** » Qui Mar 01, 2012 21:09

é justamente o prolongamento de F até encontrar o círculo. Esta questão é da UFC.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 03, 2012 09:20

alfabeta escreveu:Um triângulo equilátero ABC está inscrito em um círculo de raio r. Sejam: D, o ponto médio do arco AC e F, o ponto médio do lado BC (do triângulo). Prolongue o segmento de reta DF, a partir de F, até encontrar o círculo em G. Determine, em termos de r, a medida do segmento FG.

alfabeta escreveu:Não consigo fazer o desenho desta figura.

A figura abaixo ilustra o exercício.

: triângulo-equilátero.png (9.94 KiB) Exibido 3076 vezes

Qual foi a sua dificuldade para desenhar essa figura? Na sua tentativa, o que ficou diferente em relação a figura acima?

por **alfabeta** » Dom Mar 04, 2012 13:06

Eu já consegui desenhar a figura. ficou exatamente desta forma. Não consigo agora é achar uma relação com r.

por **LuizAquino** » Dom Mar 04, 2012 15:12

alfabeta escreveu:Eu já consegui desenhar a figura. ficou exatamente desta forma. Não consigo agora é achar uma relação com r.

Observe a figura abaixo.

: triângulo-equilátero2.png (9.09 KiB) Exibido 3058 vezes

Agora tente terminar o exercício.

Aqui vão duas dicas:

os triângulos retângulos DCF e FGB são semelhates;
$\overline{OC} = \overline{OD} = \overline{CD} = r$ .

Tente justificar porque essas duas dicas são verdadeiras.

por **alfabeta** » Dom Mar 04, 2012 17:50

Os dois triangulos são semelhantes pelo criterio angulo angulo: o angulo dfc = angulo bfg ( opostos pelo vertice) e ambos possuem angulo de 90 graus. Certo?

OC= OD = OB= raio. Não entendi porque CD = raio e o porque do angulo de 60.

por **MarceloFantini** » Dom Mar 04, 2012 20:02

Lembre-se que D é ponto médio do arco. Como o triângulo é equilátero, ele divide a circunferência em três arcos iguais de 120°. Tomando o ponto médio, temos que os arcos AD = DC

e tem ângulo de 60° medidos a partir do centro. Traçando os raios de O até D e C, vemos que o ângulo, como explicado anteriormente, é de 60° e é um triângulo isósceles, logo os ângulos da base

são iguais e somados valem 120°, daí o triângulo é equilátero também e DC=r