triangulo inscrito

[alfabeta]

Um triângulo eqüilátero ABC está inscrito em um círculo de raio r. Sejam: D, o ponto médio do arco AC e F, oponto médio do lado BC (do triângulo). Prolongue o segmento
de reta DF, a partir de F, até encontrar o círculo em G. Determine, em termos de r, a medida do segmento FG.

Não consigo fazer o desenho desta figura. Alguem poderia me ajudar?

[timoteo]

alfa, onde esta o ponto G, vc nao cita ele durante o argumentaçao do problema. onde ele esta?

[alfabeta]

é justamente o prolongamento de F até encontrar o círculo. Esta questão é da UFC.

[LuizAquino]

Um triângulo equilátero ABC está inscrito em um círculo de raio r. Sejam: D, o ponto médio do arco AC e F, o ponto médio do lado BC (do triângulo). Prolongue o segmento de reta DF, a partir de F, até encontrar o círculo em G. Determine, em termos de r, a medida do segmento FG.

Não consigo fazer o desenho desta figura.

A figura abaixo ilustra o exercício.

triângulo-equilátero.png (9.94 KiB) Exibido 3069 vezes

Qual foi a sua dificuldade para desenhar essa figura? Na sua tentativa, o que ficou diferente em relação a figura acima?

[alfabeta]

Eu já consegui desenhar a figura. ficou exatamente desta forma. Não consigo agora é achar uma relação com r.

[LuizAquino]

Eu já consegui desenhar a figura. ficou exatamente desta forma. Não consigo agora é achar uma relação com r.

Observe a figura abaixo.

triângulo-equilátero2.png (9.09 KiB) Exibido 3051 vezes

Agora tente terminar o exercício.

Aqui vão duas dicas:

1. os triângulos retângulos DCF e FGB são semelhates;
2. .

Tente justificar porque essas duas dicas são verdadeiras.

[alfabeta]

Os dois triangulos são semelhantes pelo criterio angulo angulo: o angulo dfc = angulo bfg ( opostos pelo vertice) e ambos possuem angulo de 90 graus. Certo?

OC= OD = OB= raio. Não entendi porque CD = raio e o porque do angulo de 60.

[MarceloFantini]

Lembre-se que D é ponto médio do arco. Como o triângulo é equilátero, ele divide a circunferência em três arcos iguais de 120°. Tomando o ponto médio, temos que os arcos e tem ângulo de 60° medidos a partir do centro. Traçando os raios de O até D e C, vemos que o ângulo, como explicado anteriormente, é de 60° e é um triângulo isósceles, logo os ângulos da base são iguais e somados valem 120°, daí o triângulo é equilátero também e .