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triangulo inscrito

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Mensagempor alfabeta » Qui Mar 01, 2012 15:51

Um triângulo eqüilátero ABC está inscrito em um círculo de raio r. Sejam: D, o ponto médio do arco AC e F, oponto médio do lado BC (do triângulo). Prolongue o segmento
de reta DF, a partir de F, até encontrar o círculo em G. Determine, em termos de r, a medida do segmento FG.

Não consigo fazer o desenho desta figura. Alguem poderia me ajudar?
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Re: triangulo inscrito

Mensagempor timoteo » Qui Mar 01, 2012 20:19

alfa, onde esta o ponto G, vc nao cita ele durante o argumentaçao do problema. onde ele esta?
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Re: triangulo inscrito

Mensagempor alfabeta » Qui Mar 01, 2012 21:09

é justamente o prolongamento de F até encontrar o círculo. Esta questão é da UFC.
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Re: triangulo inscrito

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 03, 2012 09:20

alfabeta escreveu:Um triângulo equilátero ABC está inscrito em um círculo de raio r. Sejam: D, o ponto médio do arco AC e F, o ponto médio do lado BC (do triângulo). Prolongue o segmento de reta DF, a partir de F, até encontrar o círculo em G. Determine, em termos de r, a medida do segmento FG.


alfabeta escreveu:Não consigo fazer o desenho desta figura.


A figura abaixo ilustra o exercício.

triângulo-equilátero.png
triângulo-equilátero.png (9.94 KiB) Exibido 3065 vezes


Qual foi a sua dificuldade para desenhar essa figura? Na sua tentativa, o que ficou diferente em relação a figura acima?
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Re: triangulo inscrito

Mensagempor alfabeta » Dom Mar 04, 2012 13:06

Eu já consegui desenhar a figura. ficou exatamente desta forma. Não consigo agora é achar uma relação com r.
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Re: triangulo inscrito

Mensagempor LuizAquino » Dom Mar 04, 2012 15:12

alfabeta escreveu:Eu já consegui desenhar a figura. ficou exatamente desta forma. Não consigo agora é achar uma relação com r.


Observe a figura abaixo.

triângulo-equilátero2.png
triângulo-equilátero2.png (9.09 KiB) Exibido 3047 vezes


Agora tente terminar o exercício.

Aqui vão duas dicas:
  1. os triângulos retângulos DCF e FGB são semelhates;
  2. \overline{OC} = \overline{OD} = \overline{CD} = r .

Tente justificar porque essas duas dicas são verdadeiras.
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Re: triangulo inscrito

Mensagempor alfabeta » Dom Mar 04, 2012 17:50

Os dois triangulos são semelhantes pelo criterio angulo angulo: o angulo dfc = angulo bfg ( opostos pelo vertice) e ambos possuem angulo de 90 graus. Certo?

OC= OD = OB= raio. Não entendi porque CD = raio e o porque do angulo de 60.
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Re: triangulo inscrito

Mensagempor MarceloFantini » Dom Mar 04, 2012 20:02

Lembre-se que D é ponto médio do arco. Como o triângulo é equilátero, ele divide a circunferência em três arcos iguais de 120°. Tomando o ponto médio, temos que os arcos AD = DC e tem ângulo de 60° medidos a partir do centro. Traçando os raios de O até D e C, vemos que o ângulo, como explicado anteriormente, é de 60° e é um triângulo isósceles, logo os ângulos da base DC são iguais e somados valem 120°, daí o triângulo é equilátero também e DC=r.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}