Raio, área e comprimento da circunferência

por **lu123** » Qui Nov 18, 2010 18:20

Estou com dúvida nestas questões, alguém poderia respondê-las? Pensei em usar as fórmulas com apótema e raio, mas o quadrado não está completamente inscrito no círculo. Também tentei usar o teorema de Pitágoras com aquele triângulo OMB, mas não deu certo ):
Imagem

O raio da circunferência é:
a) $\frac{5a}{8}$

b) $\frac{5a}{4}$

c) $\frac{4a}{5}$

d) $\frac{8a}{5}$

e) $\frac{3a}{4}$

A razão entre a área do círculo e o comprimento
da circunferência é:
a) $\frac{16}{5a}$

b) $\frac{5}{16}$

c) $\frac{5a}{16}$

d) $\frac{5a}{4}$

e) $\frac{4a}{5}$

por **MarceloFantini** » Qui Nov 18, 2010 19:26

Veja o triângulo OBM. Ele é retângulo, tem catetos $\frac{a}{2}$ e R-a

e hipotenusa

. Fazendo pitágoras:

$R^2 = (R-a)^2 + \frac{a^2}{4} = R^2 -2Ra + a^2 + \frac{a^2}{4} \therefore 2R = \frac{5a}{4} \iff R = \frac{5a}{8}$

Área do círculo: $\pi \left( \frac{5a}{8} \right)^2$

Comprimento da circunferência: $2 \pi \frac{5a}{8}$

Razão entre elas:

$\frac { \pi \left( \frac{5a}{8} \right)^2 } {2 \pi \frac{5a}{8} } = \frac{ \frac{5a}{8} } {2 } = \frac{5a}{16}$

Alternativa A e C, respectivamente.