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Retângulo

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Mensagempor Roberta » Qui Jun 19, 2008 18:07

OLá! sou nova no forum...
Estou quebrando a cabeça pra resolver este exercício de mat que uma criança de 5 anos (ai que vergonha) resolve no 1 dia de aula!Será que alguém pode me ajudar? Sei que aprendi isso... Existe até uma fórmulazinha que relaciona perímetro com área e acho que ela serviria pra resolver ... mas ... quem diz que me lembro!?

Plz, como tenho mttta dificuldade em mat e vcx aqui resolvem questões complexas, podem me mostrar o caminho + fácil pra chegar na resposta?

Obrigada!!

segue o exercício facinho...
O enunciado abaixo refere-se às questões de nos 11 e 12.

Um retângulo tem área igual a 120 dm2. Esse retângulo sofre redução de 20% em sua altura. A fim de que a área do retângulo permaneça inalterada, a base sofre acréscimo.

11

É correto afirmar que esse acréscimo corresponde a

(A) 15%
(B) 20%
(C) 25%
(D) 30%
(E) 35%

12

Considerando-se que a redução na altura corresponda a uma diminuição de 2 dm e que o acréscimo na base corresponda a um aumento de 3 dm, o perímetro desse retângulo antes das alterações em suas medidas correspondia a quantos dm?

(A) 47
(B) 46
(C) 45
(D) 44
(E) 43
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Re: Retângulo

Mensagempor admin » Qui Jun 19, 2008 19:06

Olá Roberta, boa tarde, seja bem-vinda!

Não se preocupe tanto com as "fórmulas", pois somente o entendimento do exercício conduz à resolução.

Neste caso, os pré-requisitos são: noção de porcentagem; saber que área do retângulo é o produto das medidas da base pela altura; e no final, saber que o perímetro do retângulo é a soma das medidas dos 4 lados.

Não há apenas um modo de resolver, especialmente o 12, pois há a alternativa de resolver com um sistema linear (duas equações e duas incógnitas) para encontrar as medidas dos lados.
Mas, ao resolver o sistema, obtemos uma equação do segundo grau, então, surge um novo pré-requisito que é resolver esta equação, podendo ser com a "fórmula de Bhaskara".
Como eu resolvi das duas maneiras e você pergunta pelo caminho mais fácil, posso dizer que utilizando apenas porcentagem nos dois casos, com o produto da área, é mais simples.


Para começar, no retângulo, chamemos de:
a: a medida da altura;
l: a medida da base (largura);

a_2: a medida da altura, após alteração;
l_2: a medida da largura, após alteração.

Do enunciado, podemos escrever o seguinte:

a\cdot l = 120 \;\;\;(I)

E mantendo a mesma área para as novas medidas, após as alterações:
a_2 \cdot l_2 = 120 \;\;\;(II)

Da redução de 20% na altura, a nova altura a_2 fica com 80% da original, ou seja:
a_2 = 0,8\cdot a

Reescrevendo a equação (II), substituindo a_2:
\underbrace{0,8\cdot a}_{=a_2} \cdot l_2 = 120 \;\;\; (III)

Das equações (I) e (III):
a \cdot l = 0,8\cdot a \cdot l_2

aqui, dividimos os dois membros da equação por a:

\cancel{a} \cdot l = 0,8\cdot \cancel{a} \cdot l_2

l = 0,8\cdot l_2

l_2 = \frac{l}{0,8} = \frac{l}{\frac{8}{10}} = \frac{10}{8}l = \frac54 l = 1,25l

Ou seja, 1,25l, significa 25% de acréscimo sobre l.


Para resolver o próximo exercício, como comentado, a maneira mais simples é encontrar os valores de a e l, considerando a alteração percentual, resolvendo apenas equações do primeiro grau.

Resolvendo esta, você encontra o valor de a:
a-2 = 0,8a

E com esta outra, calcula o valor de l:
l+3 = 1,25l

Com os valores de a e l, o perímetro p será (soma dos lados):
p = l + a + l + a

ou

p = 2l + 2a

Bons estudos! Comente as dúvidas...
Espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: Retângulo

Mensagempor Roberta » Qui Jun 19, 2008 20:10

Oi Fábio,
Mto obrigada. Mesmo! :-)

Roberta!!!

P.S: para quem quiser o gabarito: 11 C 12 D
Roberta
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Re: Retângulo

Mensagempor Roberta » Qui Jun 19, 2008 21:44

Fábio,
vou recomendar o forum para a minha lista de grupos do Yahoo...rs :idea:

Sabe como é... quem estuda pra concurso sabe mto direito, ptg.... mas tsk... tem a maior dificuldade em matemática.. heheh :D

Roberta :-)
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Re: Retângulo

Mensagempor admin » Qui Jun 19, 2008 22:35

OK Roberta, obrigado.
Apenas atenção para as regras do fórum.

Até mais!
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Re: Retângulo

Mensagempor Moncat » Ter Out 20, 2009 07:04

Caro professor,

Estou me preparando para o concurso de BNDES e na prova de 2008 caiu essa questão trazida pela Roberta, mas não consegui chegar à resposta da questão 12. Entendi o raciocício da questão 11 e também da montagem da 12, mas que valores atribuo ao "a" e 'l" para achar a resposta, que é 44?

12
Considerando-se que a redução na altura corresponda a uma diminuição de 2 dm e que o acréscimo na base corresponda
a um aumento de 3 dm, o perímetro desse retângulo antes das alterações em suas medidas correspondia a quantos dm?
(A) 47
(B) 46
(C) 45
(D) 44
(E) 43

obrigada,
Moncat
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Re: Retângulo

Mensagempor Molina » Ter Out 20, 2009 15:28

Moncat escreveu:Caro professor,

Estou me preparando para o concurso de BNDES e na prova de 2008 caiu essa questão trazida pela Roberta, mas não consegui chegar à resposta da questão 12. Entendi o raciocício da questão 11 e também da montagem da 12, mas que valores atribuo ao "a" e 'l" para achar a resposta, que é 44?

12
Considerando-se que a redução na altura corresponda a uma diminuição de 2 dm e que o acréscimo na base corresponda
a um aumento de 3 dm, o perímetro desse retângulo antes das alterações em suas medidas correspondia a quantos dm?
(A) 47
(B) 46
(C) 45
(D) 44
(E) 43

obrigada,

Boa tarde.

Se a questão 11 você entendeu, então tudo bem, porque usaremos ela para resolver a 12.

Como ele disse que a redução da altura de 20% é igual a 2dm, temos que:

20\%=2\Rightarrow 100\%=10 (ou seja, 10 é a altura total do retângulo).

No item 11, teríamos que a largura aumentaria 25%, ou seja, pelo enunciado 25% é igual a 3dm:

25\%=3\Rightarrow 100\%=12 (ou seja, 12 é a largura total do retângulo).

Com isso temos um retângulo de 10dm x 12dm.
Fica fácil agora achar o perímetro, que é a soma de todos os lados.

:y:
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Re: Retângulo

Mensagempor betozigaib » Ter Jan 05, 2010 23:22

Na questão 12 gostaria de saber da onde saiu o 120 do enunciado??
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Re: Retângulo

Mensagempor MarceloFantini » Ter Jan 05, 2010 23:37

Boa noite!

O valor 120 é um dado do enunciado, sem o qual não poderíamos resolver.

Um abraço.
Futuro MATEMÁTICO
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D