Olá Jefferson. Se os pontos são equidistantes de um determinado ponto
P sabemos que:
A partir daí vamos comparar as distâncias entre diferentes pontos, a fim de encontrarmos duas equações distintas que relacionem as coordenadas de
P. Começaremos comparando
![D_{AP} D_{AP}](/latexrender/pictures/62fa18e429d93a31212299e370044033.png)
com
![D_{BP} D_{BP}](/latexrender/pictures/e58bedc827c30c86d250709dc0c1f9c4.png)
:
![(1 - x_p)^2 + (7 - y_p)^2 = (8 - x_p)^2 + (6 - y_p)^2 \;\therefore (1 - x_p)^2 + (7 - y_p)^2 = (8 - x_p)^2 + (6 - y_p)^2 \;\therefore](/latexrender/pictures/4e44bfe8e96bac852ccc80caf8dc3551.png)
![1 - 2x_p + x_p^2 + 49 - 14y_p + y_p^2 = 64 - 16x_p + x_p^2 + 36 - 12y_p + y_p^2 1 - 2x_p + x_p^2 + 49 - 14y_p + y_p^2 = 64 - 16x_p + x_p^2 + 36 - 12y_p + y_p^2](/latexrender/pictures/f67ff7f0dd352622757189ccfe1a07cf.png)
![14 x_p - 2 y_p = 50 \;\therefore 14 x_p - 2 y_p = 50 \;\therefore](/latexrender/pictures/a065767569e6196db350605e404cdc7c.png)
E encontramos a nossa primeira equação. Agora compararemos
![D_{AP} D_{AP}](/latexrender/pictures/62fa18e429d93a31212299e370044033.png)
com
![D_{CP} D_{CP}](/latexrender/pictures/becb552f1e52271766485ca6bccb4782.png)
![(1 - x_p)^2 + (7 - y_p)^2 = (7 - x_p)^2 + (-1 - y_p)^2 \;\therefore (1 - x_p)^2 + (7 - y_p)^2 = (7 - x_p)^2 + (-1 - y_p)^2 \;\therefore](/latexrender/pictures/6bb7c25190b5ff68efbe0a538feaa98a.png)
![1 - 2x_p + x_p^2 + 49 - 14y_p + y_p^2 = 49 - 14x_p + x_p^2 + 1 + 2y_p + y_p^2 \;\therefore 1 - 2x_p + x_p^2 + 49 - 14y_p + y_p^2 = 49 - 14x_p + x_p^2 + 1 + 2y_p + y_p^2 \;\therefore](/latexrender/pictures/429ec54553ebe0a48003a21d85cd767f.png)
![12x_p = 16y_p \;\therefore 12x_p = 16y_p \;\therefore](/latexrender/pictures/c2972b7b2473a29bf4106ecff595bdf2.png)
Isso já é o suficiente. Agora temos duas equações para duas incógnitas. Substituindo a segunda equação na primeira:
![7x_p - \frac{3}{4} x_p = 25 \;\therefore 7x_p - \frac{3}{4} x_p = 25 \;\therefore](/latexrender/pictures/57d2f3f92534289f6a10aa314946ee3c.png)
![x_p = 4 x_p = 4](/latexrender/pictures/6d2615162ce7371b739afe29ae7b20a6.png)
Voltando a segunda equação:
![3.4 = 4y_p \;\therefore 3.4 = 4y_p \;\therefore](/latexrender/pictures/188e3346a440c06c947f88d0fc42e0e1.png)
![y_p = 3 y_p = 3](/latexrender/pictures/0fb623365f2aee348f363ac80120c990.png)
Finalmente chegamos ao ponto equidistante de
A,
B e
C, que é
P(4,3).