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O volume de uma esfera em relação a outra esfera

O volume de uma esfera em relação a outra esfera

Mensagempor Macedo Junior » Sáb Jul 23, 2016 21:01

Inst. Mais – O volume de uma esfera pode ser calculado pela fórmula 4/3 x TT x R³, onde R é o raio da mesma. Uma esfera com raio 20% inferior a outra terá um volume inferior em relação à primeira numa faixa:

(a) de até 25%
(b) Entre 25% e 40%
(c) Entre 41% e 60%.
(d) Superior a 60%.

Pergunta: A minha dúvida é se eu realmente resolvi o problema da forma correta, cheguei ao resultado do gabarito. Mas as alternativas não são um número exato, o que me deixa em dúvida se o meu raciocínio foi correto, assim gostaria da ajuda de alguém para corrigir este problema.

Como o enunciado só informa uma esfera com raio 20% inferior, realizei os cálculos com R=10 e R=8.

4/3 x TT x R³

R = 10

4/3 x 3,14 x 10³
4/3 x 3,14 x 1000
4/3 x 3140
12560/3
4.186,67

R = 8

4/3 x 3,14 x 8³
4/3 x 3,14 x 512
4/3 x 1607,68
6430,72/3
2.143,57


Regra de três:

4.186,67 ---- 100
2143,57 ---- X

4.186,67X = 2143,57 x 100
4.186,67X = 214357
X = 214357 / 4.186,67

X = 51,19

Resposta: (c) Entre 41% e 60%.
Macedo Junior
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Re: O volume de uma esfera em relação a outra esfera

Mensagempor Daniel Bosi » Sáb Jul 23, 2016 21:54

Olá Macedo,

Você só cometeu um pequeno equívoco na interpretação da regra de três no final.

Quando você faz a regra de três:

4.186,67 ---- 100
2143,57 ---- X

X = 51,20% (arredondando para cima pois o resultado é 51,199)

Você está descobrindo "quanto porcento 2143,57 representa sobre 4.186,67" (ou seja, a esfera de raio 20% menor tem 51,20% do volume da primeira) mas o exercício pede "quanto porcento 2143,57 é menor em relação a 4.186,67".

Para responder a questão você pode fazer duas coisas:

1. Simplesmente fazer 100 - 51,20 = 48,8% que é a resposta ao que o exercício pede (ou seja, a esfera menor tem um volume 48,8% menor em relação à primeira).

2. Reestruturar a regra de três para trabalhar com a variação do volume. Nesse caso você teria que fazer o volume da esfera maior menos o volume da esfera menor: 4.186,67 - 2143,57 = 2043,1

E estruturar a regra de três assim:

4.186,67 ---- 100
2043,1 ---- X

X = 48,8%

Atente para essa diferença entre "o percentual que uma coisa tem em relação a outa" e "quanto porcento menor uma coisa é em relação a outra".

Ou seja, 51,2% do volume da esfera maior é o volume da esfera menor. Mas o volume da esfera maior menos 48,8% é o volume da esfera menor.

Então nós podemos afirmar que a esfera menor tem um volume 48,8% menor em relação à primeira, embora seu volume seja 51,2% do volume da primeira.

É um detalhe sutil de interpretação.

Na dúvida, você pode fazer na calculadora 4.186,67 - 48,8% que você vai chegar no volume da esfera menor, 2143,57.

Qualquer dúvida volte a questionar.

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Re: O volume de uma esfera em relação a outra esfera

Mensagempor Macedo Junior » Sáb Jul 23, 2016 23:28

Muito Obrigado! Daniel.

Sua explicação foi excelente!
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?