[Área de triângulos]

por **Gustavo Gomes** » Seg Fev 03, 2014 22:37

Olá, pessoal!

No triângulo ABC abaixo, os pontos P e Q dividem o lado AB em três partes iguais, e os segmentos PP' e QQ' são paralelos ao lado BC.
Se a área do triângulo ABC é igual a 540 cm^2, qual a área do quadrilátero PP'Q'Q?

: imagem.PNG (9.47 KiB) Exibido 2133 vezes

A resposta é 180 cm^2.

Tentei atribuir medidas ao triângulo ABC, de acordo com sua área, mas estou com dificuldade para definir as medidas de PP' e QQ'.

Grato.

por **young_jedi** » Ter Fev 04, 2014 15:30

por semelhaça de trianglos teremos que

a altura H, de ABC e a altura h de AQQ' serão relacionadas por

$\frac{H}{h}=\frac{3}{2}$

$h=\frac{2H}{3}$

e tambem temos que

$\frac{AB}{QQ'}=\frac{3}{2}$

$QQ'=\frac{2.AB}{3}$

portanto a area do triangulo AQQ' sera

$=\frac{1}{3}.\frac{2H}{3}.\frac{2.AB}{3}$

$=\frac{4}{9}.\frac{H.AB}{3}$

mais $\frac{H.AB}{3}=540$ é a area do triangulo ABC

então

$\frac{4}{9}.\frac{H.AB}{3}=\frac{4}{9}.540=240$

para o trinagulo APP' teremos que
por semelhaça

a altura H, de ABC e a altura h2 de AQQ' serão relacionadas por

$\frac{H}{h_2}=\frac{3}{1}$

$h_2=\frac{H}{3}$

e tambem temos que

$\frac{AB}{PP'}=\frac{3}{1}$

$PP'=\frac{AB}{3}$

portanto a area do triangulo APP' sera

$=\frac{1}{3}.\frac{H}{3}.\frac{AB}{3}$

$=\frac{1}{9}.\frac{H.AB}{3}$

$\frac{1}{9}.\frac{H.AB}{3}=\frac{1}{9}.540=60$

a area do quadrialtero PP'QQ' sera

$\Delta AQQ'-\Delta APP'=240-60=180$

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