Cordas de circunferência, determinação de raio

[anfran1]

O exercício é o seguinte:Os segmentos AB e CD se interceptam num ponto P
e são cordas perpendiculares de uma mesma circunferência. Se os
segmentos AP = CP = 2 e PB = 6, então qual é o raio da circunferência?

Em meus estudos estava com dificuldade de resolver o problema usando apenas geometria plana, então ´´apelei´´ para a geometria analítica e ficou fácil: basta considerar que o centro está no encontro das mediatrizes de AB e CD. Para calcular o raio é só encontrar a distancia do centro a qualquer um dos pontos(A,B,C ou D)
Eu admiti a origem do plano como sendo o ponto P.
No entanto, o que eu queria é resolver sem essa apelação. Alguém tem alguma idéia?