Geometria plana - Circunferência

[Adri]

Boa noite, estou tentando ajudar a uma funcionária que trabalha comigo na resolução de algumas questões de matemática. Porém, não consegui resolver as seguintes questões:

Questão 1: O segmento AB é diâmetro da circunferência cuja equação é x² + y² = 10y. Se A é o ponto (3;1), então calcule as coordenadas do ponto B.

Questão 2: Para que a equação x² + y² - 4x + 8y + K = 0 represente um ponto, devemos ter:
a) k= 20 b) k = 13 c) k = 12 d)k = 14 e) k = 10

Ficarei no aguardo de suas orientações. Grata pela ajuda, desde já.
Adriana.

[Douglasm]

Olá Adri. Primeiro vamos determinar as formas reduzidas da equação da circunferência (em ambos os problemas):



Usando o método de completar quadrados, chegamos a seguinte forma reduzida:



Comparando com a equação geral da circunferência , temos:

Centro: (0,5)
Raio: 5

Agora o que queremos encontrar é um ponto que dista 5 unidades do centro e 10 unidades do ponto A: (Aqui é possível resolver algebricamente, mas eu prefiro usar um argumento geométrico, já que estamos falando do diâmetro. Os valores em azul são aqueles já conhecidos.)

círculocomreta.JPG (11.16 KiB) Exibido 17460 vezes

Vemos que o ponto B é (-3,9). (Perdoe-me pela visível falta de proporção da figura!)

Agora o segundo:

Novamente completaremos os quadrados na equação:



O que nos interessa aqui é que o raio seja igual a zero, deste modo a equação corresponderá apenas a um ponto (o centro da potencial circunferência). Logo:



Letra A

Até a próxima.

[Adri]

Boa noite,
Venho agradecer a ajuda na resolução dos problemas enviados. Procurei entender o desenvolvimento das questões e já repassei à minha funcionária, que ficou imensamente agradecida e feliz, por conseguir o trabalho com todas as questões resolvidas.
Aproveito para parabenizar a iniciativa, no incentivo aos estudos e aprimoramento da matemática.
Torço para que continue ajudando muitas outras pessoas, e quem sabe a mim mesma novamente.
Mais uma vez agradeço.
Abraço, Adriana.

[Douglasm]

Disponha Adriana. Dúvidas serão sempre bem recebidas por aqui e tratadas com seriedade. Até uma próxima vez.

[paulo testoni]

Hola Douglasm.

Muito boa a sua explicação. Seria muito mais fácil encontrar o raio da circunferência e aplicar a fórmula do ponto médio de um segmento. Vc tem o ponto A(3, 1) e tem o C(0, 5). O cento é o ponto médio do segmento AB. Então:

x_m = (x + 3)/2
0 = (x + 3)/2
x + 3 = 0
x = -3
=======
y_m = (y + 1)/2
5 = (y + 1)/2
2*5 = y + 1
10 - 1 = y
y = 9
============
B=(-3, 9). Bem mais simples.