[Quadrilátero circunscrito] Área de trapézio circunscrito.

[LCV]

Olá, pessoal!

Estou estudando para um processo seletivo do IFES, curso técnico. Para isso, tento resolver questões de anos anteriores, e empaquei na seguinte:



Não consigo visualizar a resolução de forma alguma!

Consegui apenas achar a altura do trapézio, depois de encontrar a altura do triângulo equilátero, de lado 6 (duas vezes o raio) formado pela conexão entre os centros de cada circunferência. Mas isso não me adiantou para encontrar o perímetro.

Alguma ajuda para encontrar os lados do quadrilátero e, assim, seu perímetro?

Grato!

[VonHeld18]

Olá!! Creio que a resposta correta seja a letra “c” e te demonstrarei o porquê.
Primeiro é necessário conhecer um teorema da geometria plana. Segundo ele, retas tangentes à circunferência que partem do mesmo ponto definem segmentos congruentes desde esse ponto até a tangência. Por consequência, a reta que une esse ponto ao centro da circunferência é a bissetriz desses segmentos.

Além disso, como se pode ver na imagem abaixo, a partir do prolongamento das retas AD e BC, obtém-se o triângulo equilátero ARB, que por sua vez é semelhante ao grandãlhão DRC. Como os ãngulos interno de um triãngulo equilátero são iguais, vê-se que os ângulos internos do trapézio isósceles ABCD são  e ^B= 120° e ^C e ^D= 60°.

Daí fica fácil. Basta saber que o raio da circunferência é perpendicular aos pontos de tangência e resolver os triângulos retângulos ZDJ, IYF e WOA por relações trigonométricas. Achando, deste modo, os valores de g e f, que são e . Depois basta somar tudo e você chegará ao resultado
PS: Perdão pela horrível montagem no paint.

[LCV]

Obrigado pela ajuda, VonHeld18!!

Achei que eu não pudesse prolongar as retas e formar um triângulo equilátero; parei por aí!

Ah, quando disse "triângulo IYF", quis dizer IYC, não é?

Grato!