Geometria Plana 3

por **Malorientado** » Qua Ago 08, 2012 00:31

A saga - dá-lhe dúvidas meu Pai...
No papel quadriculado da figura a seguir http://diadematematica.com/vestibular/T ... /E1392.BMP, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado hachurado. DE é paralelo a BC. Para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC, a medida de AD, na unidade adotada, é:
Bom, as áreas de figuras semelhantes são proporcionais, correto? A razão da semelhança das áreas é proporcional a razão de semelhança de lados correspondentes, também confere? Relacionei a área do triângulo maior a do menor(k²=24/12 k= $\sqrt{2}$ ) e os lados AB(que no meu livro,diferente do desenho que postei,tem 8 quadrados) ao lado AD(k=8/x). Relacionando as razões em proporção $\sqrt{2}= \frac {8} {x}$ = $x= \frac {8} { \sqrt{2}}$ . É isso?

por **e8group** » Qua Ago 08, 2012 16:56

Malorientado ,Boa tarde . Sua solução estar correta .Vou compartilhar outra solução (ficou bem interessante ) ,

$A_{ABC}/2 = A_{ADE}$

$\frac{|AB||BC| }{2} = |AD||DE| \implies |AD| = \frac{|AB||BC| }{2|DE|}$

Mas |BC| // |DE|

então , $|DE| = \alpha \cdot |BC|$ e também ,

$\frac{ |AB|}{|AD|} = \frac{|BC|}{|DE|}$ .Lembrando que , $|DE| = \alpha \cdot |BC|$ segue ,

$\frac{ |AB|}{|AD|} = \frac{|BC|}{\alpha \cdot |BC|}$

Logo , $\alpha = \frac{|AD|}{|AB}$ .Assim concluimos ,

$\frac{|AB||BC| }{2} = |AD|\alpha|BC| \implies |AD| = \frac{|AB||BC| }{2\alpha|BC|}$

$\implies |AD| = \frac{|AB||BC| }{2 \frac{|AD|}{|AB|}|BC|} \implies |AD|^2 =\frac{|AB|^2}{2}$ .Como |AB| > 0 implica ,

$|AD| =\frac{|AB|}{\sqrt{2}} \therefore |AD| = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ .

por **Malorientado** » Qua Ago 08, 2012 22:34

Amigo como você foi de $\frac{8} { \sqrt{2}}$ a $4 \sqrt{2}$ ? Por qual número simplificou? Perdoe a ignorância.

por **e8group** » Qua Ago 08, 2012 23:14

Boa noite ,veja que :

$\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{(\sqrt{2})(\sqrt{2})} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2^2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} = 4\cdot2^{\frac{1}{2}}$

por **Malorientado** » Qua Ago 08, 2012 23:47

Entendi a operação mas não entendi essa propriedade de multiplicar em cima e embaixo pela raíz de 2. Onde encontro sobre essa regra? Obrigado!

por **e8group** » Qui Ago 09, 2012 00:30

Na matemática podemos manipular expressões que mantem verdadeira a igualdade,não existe exatamente uma regra .

Por exemplo , seja :

R = x+y

(onde x e y são números reais fixos )

Perceba que é verdade as seguintes preposições ,

1) R + z = (x + y) + z

para todo z real .( $z \neq - R$ )

e também , R + z +(-z) = x+y

2)

para todo k diferente de zero .

e também , $R \frac{k}{k} = y+x$ note que para todo k/k -{0} = 1 .

Isso só foi alguns exemplos .

Mas agora !Porque racionalizar el denominador ?

Perceba que $\sqrt{2} \approx 1 , 4$ ,se quisermos aproximar a expressão $4\sqrt{2} \approx 4 \cdot 1,4 =5,6$ veja que é mais fácil fazer isso ,caso contrario :

$\frac{8 }{\sqrt{2}} \approx \frac{8}{1,4} = \frac{80}{14} = 5.6$

Esta aí o real motivo de fazer o uso da racionalizaçao .

por **Malorientado** » Qui Ago 09, 2012 00:53

Mas una vez, Muchas Gracias Amigo!

por **LuizAquino** » Qui Ago 09, 2012 10:40

Malorientado escreveu:Entendi a operação mas não entendi essa propriedade de multiplicar em cima e embaixo pela raíz de 2. Onde encontro sobre essa regra? Obrigado!

Eu recomendo que você assista a videoaula "Matemática Zero - Aula 12 - Racionalização". Ela está disponível no canal do Nerckie no YouTube:

http://www.youtube.com/nerckie

por **MarceloFantini** » Qui Ago 09, 2012 13:36

Na matemática podemos manipular expressões que mantem verdadeira a igualdade,não existe exatamente uma regra .

Sim, existem. As proposições que você disse são verdadeiras para quaisquer números reais:

(x+y)+z = x+(y+z)

e por fim, se $x \neq 0$ ,

$x x^{-1} = 1$ .

Note que esta última significa que $\frac{x}{x}=1$ . Como 1 é o elemento neutro da multiplicação, não altera a expressão. No caso em questão, temos

$\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \cdot 1 = \frac{8}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}.$