Semelhança de triângulos

por **TAE** » Qua Jun 20, 2012 01:12

boa noite,
Na figura, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 cm e 4cm, MNPB é um quadrado cujo lado mede x. o perímetro do triângulo retângulo ABC é de 12 cm. Verifique se é verdade que o perímetro do quadrado MNPB é a metade de perímetro do triângulo ABC.

A figura:
http://img20.imageshack.us/img20/8827/i ... 000012.jpg

Aí é fácil calcular que AC = 5 cm.

Obrigado.

por **Russman** » Qua Jun 20, 2012 01:59

Por semelhança de triangulos, temos

$\frac{4-x}{x} = \frac{x}{3-x}$ .

Agora basta descobrir o valor de x, multiplicar por 4 e dividir por 12.

$\frac{4-x}{x} = \frac{x}{3-x} \Rightarrow 12-7x+x^2 = x^2\Rightarrow x=12/7$

Agora,

$\frac{4x}{12} = \frac{4}{7}$ .

Portanto, o perímetro do quadrado é $\frac{4}{7}$ do perímetro do triângulo.

por **Russman** » Qua Jun 20, 2012 05:01

Para que o perímetro do quadrado fosse metade do perímetro do triângulo seria necessário que a razão ente os lados do triangulo fosse

$\frac{1}{7}(9-4\sqrt{2})$

ou

$\frac{1}{7}(9+4\sqrt{2})$

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