Questão 27 do CEFET MG 2007

[Eduardo Goncalves]

Bom dia! Na questão 27 do CefetMG :
Na figura, AB = 4, BC = 2, AC é diâmetro e os ângulos

ABD

e

CBD

são iguais. A medida da corda

BD

é;
Sabemos que o ângulo ABC é 90º.
Consegui achar por Pitágoras o valor de AC.
Considerando P o ponto de intersecção de AC e BD.
Pelos dados, BP é bissetriz de 90º.
Pelo teorema da bissetriz, temos que AP/4 = CP/2. Então AP = 2CP.
Mas não consegui encontrar outra relação para achar BD.

Aguardo retorno.

Obrigado.

[MarceloFantini]

E onde está a figura?

[Eduardo Goncalves]

A figura está no link abaixo, questão 27 - cefet 2007.
Obrigada.


http://www.copeve.cefetmg.br/galerias/a ... 1_2007.pdf

[MarceloFantini]

Eduardo, procure anexar a imagem e não fazer o link a um site externo.

[Eduardo Goncalves]

Figura

[LuizAquino]

Na figura, AB = 4, BC = 2, AC é diâmetro e os ângulos ABD e CBD são iguais. A medida da corda BD é:

figura_da_questão.jpg (3.42 KiB) Exibido 7531 vezes

Sabemos que o ângulo ABC é 90º.
Consegui achar por Pitágoras o valor de AC.
Considerando P o ponto de intersecção de AC e BD.
Pelos dados, BP é bissetriz de 90º.
Pelo teorema da bissetriz, temos que AP/4 = CP/2. Então AP = 2CP.
Mas não consegui encontrar outra relação para achar BD.

Considere a figura abaixo.

figura.png (7.79 KiB) Exibido 7531 vezes

O ponto O é o centro da circunferência. O arco CD mede 90º, pois o seu ângulo inscritos correspondente mede 45º. Dessa forma, o ângulo central COD mede 90º.

Chamando de x a medida de CP, você já sabe que AP = 2x. Note que com isso, temos que AC = 3x. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, podemos determinar a medida de AC e consequentemente o valor de x.

Considerando o triângulo retângulo DOP, o cateto OD corresponde ao raio da circunferência (e portanto OD = AC/2). Já o cateto OP é igual a OC - x (sendo que OC é outro raio da circunferência). Considerando que as medidas dos catetos OD e OP já serão conhecidas, podemos calcular o valor da hipotenusa PD.

Considerando agora o triângulo PBC, já conhecemos as medidas de seus lados BC e CP. Aplicando a Lei dos Cossenos, podemos obter a medida de seu lado BP.

Como já conhecemos as medidas de BP e PD, podemos calcular a medida de BD, já que BD = BP + PD.

Agora basta você terminar o exercício.