[Quadrado] Duvida quanto a um desafio

por **Gilder** » Sex Jan 30, 2009 18:12

O problema é o seguinte:

"Considere um quadrado ABCD e os pontos E, F, K e L, pertencentes aos lados AB, BC, CD e AD, respectivamente,
tais que os segmentos EK e FL são perpendiculares. Mostre que EK = FL."

Basicamente, tento resolve-lo procurando triangulos semelhantes que provem essa equivalencia, mas mesmo prolongando retas e colocando seguimentos como EF e LK, não acho nenhuma semelhança eficiente.

Se alguem tiver alguma dica...

Agradeço desde já.

por **Sandra Piedade** » Dom Fev 01, 2009 10:32

Seja G o centro do quadrado, ou seja, a intersecção das diagonais do quadrado. Note-se que as diagonais são perpendiculares e bissectam-se. Fazendo uma rotação das diagonais com centro em G e amplitude $\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2} \right]$ , obtemos os triângulos [GDL], [GAE], [GBF] e [GCK]. Todos estes triângulos são geometricamente iguais. Tente ver porquê, relembrando os critérios de igualdade de triângulos. Diga depois as conclusões das suas observações, ok? Se não conseguir justificar a igualdade, eu ajudo. E depois da igualdade é fácil concluir a resposta à questão.

por **Gilder** » Dom Fev 01, 2009 16:51

Deu certo. os triangulos tinham um lado de mesma medida, e os tres angulos iguais, assim eram congruentes, daí ficou tranquilo.
Obrigado!

Agora, preciso mostrar que o ortocentro de um triangulo acutangulo ABC, é o incentro do triangulo DEF, sendo D, E e F respectivamente os pés das alturas relativas aos lados AB, BC, CA.

Meu raciocínio tentei traçar uma reta s paralela ao lado BC, que passa por A. Então prolonguei os seguimentos ED, e EF, até atingirem a paralela s nos pontos D' e F', porém não consegui mostrar que o triangulo ED'F' é isósceles pois assim EA seria uma bissetriz.

Deve haver algum jeito mais facil. Qualquer ajuda é bem vinda.

por **Sandra Piedade** » Ter Fev 03, 2009 08:32

Para essa terei que pensar um pouco mais. Não tenho dúvida de que é válida a afirmação, agora o porquê, vai dar um pouco mais trabalho. É melhor colocar essa questão num novo tópico de geometria, para que outros colaboradores pensem também nela... É que eu posso demorar mais do que você pode esperar.