Foco de uma parabola

por **PedroSantos** » Qua Fev 23, 2011 13:26

Seja a função dada pela expressão $y={x}^{2}-4$ .

É fácil concluir que a concavidade da parabola é virada para cima e que os seus zeros são -2 e 2. Pode-se ainda concluir que as coordenadas do vertice são (0,-4), pois se os zeros são -2 e 2 e a parabola é uma figura com simetria, a abscissa será $\frac{(2-2)}{2}=0$ e a ordenada $y={0}^{2}-4 \Leftrightarrow y=-4$ . Conforme se pode verificar na figura:

E as coordenadas do foco e a recta da directriz?Como posso achar estes dados a partir da expressão inicial?

por **Dan** » Qua Fev 23, 2011 16:16

Olá PedroSantos.

Você precisa primeiramente passar a equação para a forma ${(x-h)}^{2} = 4p(y-k)$ . Pode usar completamento de quadrados, por exemplo.

Depois disso você calcula o foco e a diretriz:

Foco: (h, k+p)

Diretriz:

No caso dessa parábola, a equação será ${(x-0)}^{2} = 1(y+4)$

A partir disso você calcula foco e diretriz. Não esqueça que 4p = 1 e que k = -4.

por **LuizAquino** » Qua Fev 23, 2011 16:22

Dos conhecimentos de Geometria Analítica, sabemos que uma parábola de foco F=(0, p) e reta diretriz r : y=-p tem equação igual a $y = \frac{1}{4p}x^2$ .

Para transformar a sua equação nesse formato, vamos fazer uma translação do sistema de eixos de modo que o novo sistema terá a sua origem no ponto (0, -4) do eixo antigo. Isto é, teremos o novo sistema y_1 = y+4

e

. Sendo assim, a equação y=x^2-4

fica equivalente a y_1 = x_1^2

no novo sistema.

Nesse novo sistema, temos que o foco será $F_1 = \left(0,\, \frac{1}{4}\right)$ e a reta diretriz será $r_1 \,:\, y_1 = -\frac{1}{4}$ .

Agora, voltando novamente para o sistema de eixos original, teremos que o foco será $F=\left(0, -\frac{15}{4}\right)$ e a reta diretriz será $r \,:\, y = -\frac{17}{4}$ .

por **PedroSantos** » Qua Fev 23, 2011 22:17

Obrigado pela ajuda, aos dois.A minha dificuldade estava mesmo em colocar a expressão inicial na forma ${(x-h)}^{2}=4p(y-k)$ .

por **PedroSantos** » Qui Fev 24, 2011 10:24

Entretanto estive a verificar outro exemplo.

y=x^2-5x+6

Aqui é necessário colocar na forma $y=a(x-h)^{2}+k$
É preciso achar um número que adicionado a x^2-5x

transforme a expressão num trinómio quadrado prefeito. Sabemos que 2ab=5x e que a=x logo b=5/2, assim $b^2=\frac{25}{4}$

Por isso o trinomio do quadrado perfeito fica $x^2-5x+\frac{25}{4}$ .Agora é necessário adicionar o simétrico do número que utilizamos como artificio.
Fica :
$y=x^2-5x+\frac{25}{4}+6-\frac{25}{4}$

Depois de simplificar a expressão ficamos com

$(x-\frac{5}{2})^2=1(y+\frac{1}{4})$

Temos:
h=5/2
k=-1/4
p=1/4

por **LuizAquino** » Qui Fev 24, 2011 10:45

Como você mesmo fez, y=x^2-5x+6

pode ser escrita como $y+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2$ .

Isso significa que o seu novo sistema de eixos deve ser transladado de modo que sua origem seja no ponto $\left(\frac{5}{2},\, -\frac{1}{4}\right)$ do sistema atual. Isto é, teremos que $x_1 = x - \frac{5}{2}$ e $y_1 = y + \frac{1}{4}$ .

Nesse novo sistema, a equação da parábola é y_1=x_1^2

, e portanto o foco é $F_1 = \left(0,\, \frac{1}{4}\right)$ .

Agora, basta transformar esse ponto de volta para o sistema original, obtendo assim $F = \left(\frac{5}{2},\, 0\right)$ .

Foco de uma parabola

Foco de uma parabola

Foco de uma parabola

Re: Foco de uma parabola

Re: Foco de uma parabola

Re: Foco de uma parabola

Re: Foco de uma parabola

Re: Foco de uma parabola

Quem está online