Será que esta relação geométrica esta errada?

por **Guga1981** » Qua Ago 29, 2018 18:51

Boa tarde, senhores!
Estou lendo um artigo que trata dos três problemas clássicos gregos e, na parte que fala da máquina de Platão, me deparei com a suspeita de que a primeira relação
$\frac{ON}{OB} = \frac{OC}{OM}$ está equivocada:

Pela minha dedução o autor do artigo se enganou ao fazer a proporção dos triângulos MÔC e BÔN:

A relação correta não seria:
$\frac{ON}{OC} = \frac{OM}{OB}$

O que vocês acham?

por **Gebe** » Qua Ago 29, 2018 19:45

A dedução do autor está correta.
Observe na sua figura a disposição dos angulos (que está certa).
A proporção é vista em relação aos angulos, portanto o segmento oposto ao angulo alpha, por exemplo, de um triangulo deve estar diretamente proporcional ao segmento oposto ao angulo alpha do outro triangulo.
A sua proporção ficou inversamente proporcional.
ex.: Segundo a proporção que você propõe, mantendo-se MOC sem alterações, se aumentarmos o comprimento ON, teriamos de diminuir OB para manter a proporção entre MOC e BON o que não aconteceria.

por **Guga1981** » Sáb Set 01, 2018 01:08

Gebe escreveu:A dedução do autor está correta.
Observe na sua figura a disposição dos angulos (que está certa).
A proporção é vista em relação aos angulos, portanto o segmento oposto ao angulo alpha, por exemplo, de um triangulo deve estar diretamente proporcional ao segmento oposto ao angulo alpha do outro triangulo.
A sua proporção ficou inversamente proporcional.
ex.: Segundo a proporção que você propõe, mantendo-se MOC sem alterações, se aumentarmos o comprimento ON, teriamos de diminuir OB para manter a proporção entre MOC e BON o que não aconteceria.

Mas, olha, no primeiro triangulo (o OMC) o segmento oposto ao angulo alpha é o segmento OM enquanto que no segundo triangulo (o BON) o segmento oposto ao ângulo alpha é o OB. Não é um lado de um triângulo no numerador da fração e o outro lado correspondente no denominador? Se for isso, a fração fica: $\frac{OM}{OB}$ e não $\frac{ON}{OB}$ .

por **Gebe** » Sáb Set 01, 2018 15:25

Não é um lado de um triângulo no numerador da fração e o outro lado correspondente no denominador

Na verdade isso é mais uma dica/macete de como escrever a relação.
Podemos escrever de varias formas essa proporcionalidade:
-> ON/OB = OC/OM

-> ON/OC = OB/OM

-> OM/OB = OC/ON -> forma derivada da tua duvida

-> ON.OM = OC.OB

-> (ON.OM) / (OC.OB) = 1

-> 1/(ON.OM) = 1/(OC.OB)

E varias outras formas, tendo apenas que respeitar a proporcionalidade.

por **Guga1981** » Sáb Set 01, 2018 22:18

Ah... eu não sabia que dava para relacionar a razão dos dois lados de um mesmo triângulo pelos dois lados de outro triângulo! Eu só havia aprendido a fazer a proporção de um lado do primeiro triângulo pelo lado correspondente do segundo triângulo igual a outro lado do primeiro sobre outro lado do segundo. Obrigado! Aprendi mais uma!