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Relação entre raio e altura - Tronco de Cone

Relação entre raio e altura - Tronco de Cone

Mensagempor pvgomes07 » Dom Ago 05, 2012 17:53

Olá senhores!
Sou estudante de Eng. Elétrica e estou tentando modelar matematicamente um tanque que estou desenvolvendo para a disciplina de Controle. Eu até entendo, razoavelmente da teoria de controle mas estou me batendo na matemática do tanque, se fossem circuitos eu acho que conseguiria modelar com mais tranquilidade...

Bom,
minha dúvida é a seguinte.

Calculei o volume do tronco do cone circular (de dimensões ainda desconhecidas) utilizando o princípio da integral de revolução.
E obtive:

V = (pi/3)*(hmax/(r2-r1))*[r2(t)^3-r1^3]

Sendo
V - volume do líquido contido no tronco do cone
hmax - altura máxima do tronco do cone
r2 - maior raio do cone (topo)
r1 - menor raio do cone(base)
R2(t) - raio do círculo formado pelo líquido em uma altura qualquer do cone

Nessa parte fiz alguns testes e acredito que esteja correto.

Mas o problema é que vou controlar a altura da coluna de líquido h(t), assim, não posso depender do raio R2(t).

Logo, preciso achar uma relação para eu substituir o R2(t) por h(t).
Sendo h(t) a altura do líquido em um instante qualquer.


Como eu ainda vou construir o tanque(nesse formato), ainda não posso determinar as dimensões do tronco do cone, ou seja, não sei qual a abertura do cone... (motivo o qual eu inclui (hmax/(r2-r1)) no cálculo do volume, se for um cone circular reto (hmax/(r2-r1)) = 1

Já estou quebrando a cabeça com isso tem alguns dias... :oops:

Obrigado pessoal! ;)
Abraços
pvgomes07
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Re: Relação entre raio e altura - Tronco de Cone

Mensagempor Russman » Seg Ago 06, 2012 18:48

Usa semelhança de triângulos.

Se H é a altura total do cone ,R o raio da base, h uma altura qualquer e r o raio do circulo nesse nível então

H/R=h/r .

Isto é,

h = H(r/R)
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Re: Relação entre raio e altura - Tronco de Cone

Mensagempor pvgomes07 » Ter Ago 07, 2012 00:58

Russman escreveu:Usa semelhança de triângulos.

Se H é a altura total do cone ,R o raio da base, h uma altura qualquer e r o raio do circulo nesse nível então

H/R=h/r .

Isto é,

h = H(r/R)


Poxa Russman, verdade!

Acredita que eu não tinha pensado nisso?
Fiz tanta conta e não me atentei para essa relação!

Obrigado!!!

Depois eu posto aqui como ficou.
Abraços!
pvgomes07
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.