Cilindro Circular Reto Inscrito em Cone

por **OtavioBonassi** » Ter Jul 12, 2011 18:29

Boa tarde galera ,to com um caô num exercício , tentei trabalhar com algumas relações de triangulos possíveis e até mesmo com LaGrange e nao saiu , o enunciado é o seguinte :

"Considere o cilindro circular reto de maior volume, inscrito no cone reto de altura 12 cm e raio da base igual a 5 cm.O volume desse cilindro, em cm³. é :"

Valeu.

por **Adriano Tavares** » Dom Jan 01, 2012 17:51

Olá,Otaviobonassi.

: Cilindro Circular Reto Inscrito em Cone; Cilindro Circular Reto Inscrito em Cone.gif (2.44 KiB) Exibido 4018 vezes

--> diâmetro da base do cone.

Sendo os triângulos AED

e

semelhantes teremos:

$\frac{2r}{10}=\frac{12-h}{12} \Rightarrow h=\frac{60-12r}{5}$

$V=\pi r^2.h \Rightarrow V = \pi r^2.(\frac{60-12r}{5}) \Rightarrow V=\frac{\pi}{5}(60r^2-12r^3)$

Calculando $\frac{dV}}{dr}$ teremos:

$\frac{dV}{dr}=\frac{\pi}{5}(120r-36r^2)$

Fazendo-se $\frac{dV}{dr}=0$ teremos:

$36\pi r^2 =120 \pi r \Rightarrow 6r=20 \Rightarrow r=\frac{10}{3}$

$h=12-\frac{12r}{5} \Rightarrow h=12-\frac{12}{5}.\frac{10}{3} \Rightarrow h=4$

Logo, o volume máximo do cilindro srá:

$V=\pi r^2.h \Rightarrow V=\pi .\frac{100}{9}.4 \Rightarrow V=\frac{400 \pi}{9} \tex{cm^3}$

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