Achar a altura de uma Pirâmide que inscreve-se um circulo

por **Rose** » Seg Jun 16, 2008 11:35

OLá!!!
Tentei por inumeras vez encontrar uma solução para este problema, mas sem sucesso. Porcurei em varios livros didaticos sobre o assunto que me dessem um modelo parecido, mas não encontrei nenhum. Por isso, minha última esperança é vocês.

1)Considerando uma piramide regular cuja base quadrada tem área 64cm². Numa secção paralela a base que dista 30mm desta, inscreve-se um circulo. Se a area deste circulo mede 4pi cm². Qual a altura desta piramide???

por **admin** » Seg Jun 16, 2008 13:27

Olá Rose, bom dia!

Você conseguiu fazer o desenho da pirâmide?
Na pirâmide regular, seu eixo é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.

O círculo inscrito e sua área fornecem a informação da área da seção quadrada! Você obteve esta área?

Estas áreas (área da base da pirâmide e área do topo do tronco), também fornecem a informação dos lados destes quadrados!

Enfim, considere na pirâmide outra seção que contenha o vértice e seja perpendicular a um par de lados da base (conseqüentemente esta seção será paralela ao outro par de lados da base quadrada).
Assim, a intenção é reduzir o problema para duas dimensões, pois consideramos a partir daqui somente um triângulo retângulo, obtido dividindo o triângulo isósceles da seção pela altura da pirâmide.

Neste triângulo retângulo, já temos o valor de um cateto, podendo o outro cateto ser escrito em função da altura

da pirâmide. Por semelhança calculamos a altura pedida, h=6

cm.

Rose, pense nas perguntas que fiz inicialmente.
É estritamente necessário fazer o desenho (mentalmente ou no papel) para conseguir a resolução.
Comente caso tenha dúvidas nas construções ou nos cálculos, se possível, enviando seu desenho.

Espero ter ajudado!

por **Rose** » Ter Jun 17, 2008 11:56

Olá!!

Li, reli e fiz o desenho conforme meu entendimento, que segue no anexo. Tentei responde aos questionamentos por você efetuados. Fiz alguns calculos: 1) a área da base do tronco , segundo meus calculos deu 16cm² - 4cm² (da area do circulo)=12 cm².
Quando você pede área da base, creio que não é necessário pois, o problema já fornece e, é 64cm², certo!!

Olhando meu desenho visualizei um trapézio, que surgiu a da secção do círculo a pirâmide. Deste trapézio originei um retângulo de lado 4 e altura 30mm=0,3cm e um triângulo retângulo de altura 0,3cm(cateto) e base 2, pois sabendo que o lado pirâmide é 8 então 8 - 4 = 4 e achei a hipotenusa que deu x= 19 aproximadamente . Como você pode notar não fiz muito progresso, e por isso recorro a você, para mais uma vez me ajudar. Este exercício é muito importante para mim, de uma lista 20 foi o único que até agora não estou conseguindo fazer. Desculpe pelo desenho mas não disponho de programas adequado para faze-lo. Obrigada!!

por **admin** » Ter Jun 17, 2008 15:38

Olá Rose, boa tarde!

Seu desenho está muito bom.
Alguns comentários...

Rose escreveu:1) a área da base do tronco , segundo meus calculos deu 16cm² - 4cm² (da area do circulo)=12 cm².
Quando você pede área da base, creio que não é necessário pois, o problema já fornece e, é 64cm², certo!!

Cuidado ao fazer referências ao tronco. A base do tronco é a mesma base da pirâmide.
A seção pararela é o topo do tronco!
Ou seja, 64 cm^2

é a área da base da pirâmide (e do tronco).

fabiosousa escreveu:O círculo inscrito e sua área fornecem a informação da área da seção quadrada! Você obteve esta área?

Estas áreas (área da base da pirâmide e área do topo do tronco), também fornecem a informação dos lados destes quadrados!

O questionamento sobre as áreas foi apenas para concluirmos sobre as medidas dos lados dos quadrados da base do tronco e do topo do tronco.
Como você bem escreveu, já sabemos que os lados medem 8cm e 4cm, respectivamente. Mais facilmente do que considerar a área dada do círculo para obtermos o lado do topo seria já considerar diretamente o próprio diâmetro, como você fez no segundo desenho.

Outros dois detalhes:
Área é sempre em unidade^2

, em um momento você escreveu cm^3

, creio que apenas por descuido.
E 30mm = 3cm

.

Pois bem, acho que falta pouco para você resover o exercício, considerando que o desenho está feito e já temos as medidas dos lados dos quadrados (base e topo do tronco).

Este trapézio que você visualizou foi obtido por uma outra seção, tudo bem.
Mas, uma seção diferente daquela que eu havia sugerido, assim terá mais trabalho, pense nisso:

fabiosousa escreveu:Enfim, considere na pirâmide outra seção que contenha o vértice e seja perpendicular a um par de lados da base (conseqüentemente esta seção será paralela ao outro par de lados da base quadrada).
Assim, a intenção é reduzir o problema para duas dimensões, pois consideramos a partir daqui somente um triângulo retângulo, obtido dividindo o triângulo isósceles da seção pela altura da pirâmide.

Tente fazer esta outra seção e conseguirá encontrar a altura da pirâmide por semelhança de triângulos!

Discordo de você quando diz que não fez muito progresso.
A ajuda só se faz com estas tentativas e interesse.
Até mais, vamos conversando...

por **Rose** » Qua Jun 18, 2008 17:10

Olá!!

Acho que matei a charada!!

Tendo encontrado a área do tronco e sabendo a área da base, logo, sei o valor dos lados do tronco e da base, certo??!!
Bem, partindo destes pressupostos, então, posso montar uma razão entre os lados, a altura do tronco e altura.
l1/l2 = d/h onde l1 =4 l2=8 d= 3 cm e h=???
4/8 = 3/h = > 4h = 24 = h =24/4 = h 6cm. Espero ter decifrado.

Caso tenha conseguido podes me enviar a maneira de se fazer com as áreas dos triangulos?? MInha visão espacial, não me permitiu ver os triangulos.

Desculpe-me pelo abuso, resolvi um problema para minha sobrinha, conforme o desenho em anexo, só que meu resultdo difere, do gabarito por ela aprensentado.

Resolução:
Esses foram os resultados que obtive:
At= ??
A(quadrado) = 36cm² Area( círculo)= (4 *3,14)= (28,24cm²)/4 = 7,06
At = A(quadrado) - Area( círculo)= 36- 7,06= 28,94

no gabarito está 7,673

por **admin** » Qua Jun 18, 2008 17:42

Olá Rose!
A razão que você montou precisaria ser necessariamente justificada por semelhança de triângulos.
Sem visualizar os triângulos, você ainda não pode concluir sobre a razão de semelhança.

Depois, favor explicar melhor sobre as contas que você colocou no final.
Escreva o que é "At", por exemplo. E cuidado com a seqüência de passos, melhor pular linhas.

Outra observação: tenho a impressão que você está com uma falsa idéia sobre o que é "área do tronco".
Atenção: "área do topo do tronco" está relacionada apenas com o "quadrado do topo" (ou base superior).
"Área da base do tronco" está relacionada apenas com o "quadrado da base da pirâmide (e do tronco)" - ou base inferior.
"Área do tronco" é a soma das áreas dos quatro lados do tronco, mais a área da base inferior, mais a área da base superior!

Voltanto à resolução, veja a figura que preparei para você visualizar o triângulo na seção comentada:

O triângulo em destaque, simplificando o problema para duas dimensões:

: triangulo_retangulo1.jpg (9.46 KiB) Exibido 12090 vezes

Veja a justificativa sobre a semelhança de triângulos:
O triângulo EGQ é semelhante ao triângulo EFS, pelo caso lado-ângulo-lado, notação:
$\Delta EGQ \sim \Delta EFS$ , caso LAL.

Pela semelhança, podemos escrever a seguinte proporção entre os lados:
$\frac{FS}{GQ} = \frac{EF}{EG}$

Substituindo os valores:
$\frac42 = \frac{h}{h-3}$

4(h-3) = 2h